09-看图理解数据结构与算法系列(B树)

B树

B树即平衡查找树，一般理解为平衡多路查找树，也称为B-树、B_树。是一种自平衡树状数据结构，能对存储的数据进行O(log n)的时间复杂度进行查找、插入和删除。B树一般较多用在存储系统上，比如数据库或文件系统。

B树特点

• B树可以定义一个m值作为预定范围，即m路(阶)B树。
• 每个节点最多有m个孩子。
• 每个节点至少有ceil(m/2)个孩子，除了根节点和叶子节点外。
• 对于根节点，子树个数范围为[2,m]，节点内值的个数范围为[1,m-1]。
• 对于非根节点，节点内的值个数范围为[ceil(m/2)-1,m-1]。
• 根节点(非叶子节点)至少有两个孩子。
• 一个有k个孩子的非叶子节点包含k-1个值。
• 所有叶子节点在同一层。
• 节点内的值按照从小到大排列。
• 父节点的若干值作为分离值分成多个子树，左子树小于对应分离值，对应分离值小于右子树。

以下是一个四阶B树，

插入

假设现在构建一棵四阶B树，开始插入“A”，直接作为根节点，

插入“B”，大于“A”，放右边，

插入“C”，按顺序排到最后，

继续插入“D”，直接添加的结果如下图，此时超过了节点可以存放容量，对于四阶B树每个节点最多存放3个值，此时需要执行分裂操作，

分裂操作为，先选取待分裂节点的中值，这里为“B”，然后将中值“B”放到父节点中，因为这里还没有父节点，那么直接创建一个新的父节点存放“B”，而原来小于“B”的那些值作为左子树，原来大于“B”的那些值作为右子树。

继续插入“E”，"E"大于“B”，往右子节点，

分别于“C”和“D”比较，大于它们，放到最右边，

插入“F”，“F”大于“B”，往右子树，

“F”分别与“C”"D""E"比较，大于它们，放到最右边，此时触发分裂操作，

选取待分裂节点的中值“D”，然后将中值“D”放到父节点中，父节点中的“B”小于“D”，于是放到“B”右边，而原来小于“D”的那些值作为左子树，原来大于“D”的那些值作为右子树。

继续插入“M”，结果为，

插入“L’，大于“B”“D”，往右子树，

“L”大于“E”“F”小于“M”，于是放到第三个位置，此时触发分裂操作，

选取待分裂节点的中值“F”，然后将中值“F”放到父节点中，父节点中的“B”“D”都小于“F”，于是放到最右边，而原来小于“F”的那些值作为左子树，原来大于“F”的那些值作为右子树。

插入“K”，结果为，

插入“J”，大于“B”“D”“F”，往右子树，

“J”小于“K”“L”“M”，于是放到第一个位置，此时触发分裂操作，

选取待分裂节点的中值“K”，然后将中值“K”放到父节点中，父节点中的“B”“D”“F”都小于“K”，于是放到最右边，而原来小于“K”的那些值作为左子树，原来大于“K”的那些值作为右子树。此时父节点也触发分裂操作，

选取待分裂节点的中值“D”，然后将中值“D”放到父节点中，由于还没有父节点，那么直接创建一个新的父节点存放“D”，而原来小于“D”的那些值作为左子树，原来大于“D”的那些值作为右子树。

插入“I”，大于“D”，往右子树，

右子树不是叶子节点，继续往下，这时“I”大于“F”而小于“K”，所以往第二个分支，

“I”小于“J”，于是放到左边，

类似地，插入“H”，结果如下，

插入“G”，往左子树，

往中间分支，

触发分裂操作，

选取待分裂节点的中值“H”，然后将中值“H”放到父节点中，"H"大于父节点中的“F”而小于“K”，于是放到中间，而原来小于“H”的那些值作为左子树，原来大于“H”的那些值作为右子树。

综上所述，插入操作的核心是分裂操作。无需分裂的情况比较简单，直接插入即可；如果插入后超过节点容量，这个容量可预先自定义，则需要进行分裂操作，需要注意的是分裂可能引起父节点需要继续分裂。

查找

对B树进行查找就比较简单，查找过程有点类似二叉搜索树，从根节点开始查找，根据比较数值找到对应的分支，继续往子树上查找。

比如查找“I”，"I"大于“D”，往右子树，

“I”分别与节点内值比较，大于“F”“H”而小于“K”，往第三个分支，

逐一比较节点内的值，找到“I”。

作者：超人汪小建
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来源：掘金
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