2017 CCPC 杭州 HDU6265B 积性函数

题目链接 http://acm.hdu.edu.cn/downloads/CCPC2018-Hangzhou-ProblemSet.pdf

B题 数论题      h(n)=∑ d|n φ(d) × n /d   求一个数的h值   我们只要意识到他是一个积性函数就解决了  这个函数看起来很像狄利克雷卷积 我们构造一个函数f(n)=n;h(n)=∑ d|n φ(d) × f(n /d)

欧拉函数φ是积性函数 构造的f是完全积性函数 所以他们的狄利克雷卷积h也是积性函数  然后推导一下答案就是 ∑(pi^qi+(pi-1)*qi*pi^(qi-1))  (1<=i<=m)

其实当你没有意识到他是一个积性函数    推导的时候也可以发现他可以用组合情况写   这就用到了子集生成知识了很简单一个dfs就可以了 m最大20 子集个数最大就是2^20 可以接受

然后枚举子集就可以得到结果了

关于  积性函数和狄利克雷卷积推荐几个博客  https://www.cnblogs.com/jianglangcaijin/p/6035766.html#undefined

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　https://blog.csdn.net/liyizhixl/article/details/79997478

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　https://www.cnblogs.com/wfj2048/p/6537861.html

积性函数性质

1.若n=pa11pa22pa33...pannn=p1a1p2a2p3a3...pnan，那么f(n)=f(pa11)f(pa22)f(pa33)...f(pann)f(n)=f(p1a1)f(p2a2)f(p3a3)...f(pnan)。

2.若ff为积性函数且有f(pn)=fn(p)f(pn)=fn(p)，那么ff为完全积性函数。

狄利克雷卷积性质：

1. (f∗g)=∑d|nf(d)g(nd)(f∗g)=∑d|nf(d)g(nd)
2. f∗(g∗h)=(f∗g)∗hf∗(g∗h)=(f∗g)∗h
3. f∗(g+h)=f∗g+f∗hf∗(g+h)=f∗g+f∗h
4. f∗g=g∗f

位向量法子集生成模板 O(n*2^n)

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn = 2e5+,M = ;
 typedef long long ll;
 int a[maxn],b[maxn];
 void print_subset(int n, int b[],int cur)
 {
     if(cur==n)
     {
         for(int i=;i<cur;i++)
         {
             if(b[i])
                 printf("%d ",a[i]);
         }
         printf("\n");
         return;
     }
     b[cur]=;
     print_subset(n,b,cur+);
     b[cur]=;
     print_subset(n,b,cur+);
 }
 int main()
 {
     int n;
     cin>>n;
     for(int i=;i<n;i++)
         a[i]=i+;
     memcpy(b,a,sizeof(a));
     print_subset(n,b,); //传参后会修改b的值 所以copy一个数组
 }

AC代码

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 const int maxn = 1e5+ ,mod = ;
 typedef long long ll;
 ll poww(ll a,ll b)
 {
     ll ans=;
     while(b>)
     {
         if(b&)
             ans=(ans*a)%mod;
         b=b>>;
         a=(a*a)%mod;
     }
     return ans;
 }
 int main()
 {
     int t;
     cin>>t;
     while(t--)
     {
         ll q,p,ans=;
         int m;
         cin>>m;
         while(m--)
         {
             cin>>p>>q;
             ll temp=;
             temp=(temp*(p-))%mod;
             temp=(temp*q)%mod;
             temp=(temp*poww(p,q-))%mod;
             temp=(temp+poww(p,q))%mod;
             ans=ans*temp%mod;
             //cout<<ans<<endl;
         }
         cout<<ans<<endl;
     }
 }