Tyche 2191 WYF的递推式

题目描述

WYF手中有这样一条递推式

WYF并不是想让你帮他做出结果，事实上，给定一个n，他能够迅速算出F_n。WYF只是想单纯的考验一下读者们。

输入描述

仅一行，三个整数N，F₁，P

输出描述

仅一行，表示F_n模P的余数。

样例输入

5 1 100

样例输出

41

注释

对20%的数据，N≤1000。

对50%的数据，N≤10000000。

对100%的数据，N、F₁≤10¹⁸，P≤10⁹

解题思路

N<=1e18，最后的复杂度应该是O(1)或者O（lg（N））

直接模拟式o（N^2）的，显然不行，虽然可以骗到20分。

考虑累加中每一项之前都乘了n^2，可以算一下f(n+1)-f(n)

F(n)=F(n-1)+(n-1)∑(k=1) (n-k)*F(k)(n>=3)

每一个f之前都乘了n，所以考虑再减一下

F(n)=2*F(n-1)-F(n-2)+(n-1)∑(k=1)F(k) (n>=4)

那如果再减一下，是不是就没有∑了，于是我又减了一下

F(n)=4*F(n-1)-3*F(n-2)+F(n-3) (n>=5)

看到这个样子就很舒服了，明显矩阵快速幂，但是我手残，总是忘记longlong越界之类的问题，调了一下午，终于过了。

 #include<iostream>
 #include<cstring>
 #include<cstdio>
 using namespace std;
 long long n,p,t;
 struct mat
 {
     long long a[][];
     mat()
     {
         memset(a,,sizeof(a));
     }
     mat operator * (mat x)
     {
         mat ans;
         for(int i=;i<=;i++)
             for(int j=;j<=;j++)
                 for(int k=;k<=;k++)
                     ans.a[i][j]+=a[i][k]*x.a[k][j],ans.a[i][j]=(ans.a[i][j]+p)%p;
         return ans;
     }
 }f,chg;
 mat mul(mat x,long long k)
 {
     mat res;
     res.a[][]=res.a[][]=res.a[][]=;
     for(long long i=k;i;i>>=,x=x*x)
         if(i&)
             res=res*x;
     return res;
 }
 int main()
 {
     scanf("%lld%lld%lld",&n,&t,&p);
     if(n==||n==)
         printf("%lld\n",t%p);
     else if(n==)
         printf("%lld\n",(*t)%p);
     else if(n==)
         printf("%lld\n",(*(t%p))%p);
     else
     {
         f.a[][]=(*(t%p))%p,f.a[][]=(*t)%p,f.a[][]=t%p;
         chg.a[][]=,chg.a[][]=,chg.a[][]=,chg.a[][]=-,chg.a[][]=,chg.a[][]=,chg.a[][]=,chg.a[][]=,chg.a[][]=;
         chg=mul(chg,n-);
         f=f*chg;
         printf("%lld\n",f.a[][]);
     }
     return ;
 }