在本篇博客中,我们将讨论如何使用有效的算法来判断一个大整数是否为平方数。

  给定正整数\(n\),如果存在一个整数\(m\),满足\(m^{2}=n\),那么则称\(n\)为平方数。因此,判断一个大整数\(n\)是否为平方数,很自然的想法就是,从1开始,依次递增,判断这个数的平方是否等于给定的数\(n\),如果是,则\(n\)为平方数,如果这个数的平方大于\(n\),则\(n\)不是平方数。这个想法很简单,但可惜的是,效率却很低,因为我们要遍历\(\sqrt{n}\)个数,当\(n\)很大时,这样的效率是我们不能忍受的。

  那么有没有其他方法呢?这时候,一个公式进入我们的视野,那就是:

\[1+3+5+...+2n-1=n^{2}.
\]

看上去这个公式给了我们一点希望,因为我们不需要从1开始一个一个去找,而是只需要寻找至\(2\sqrt{n}-1\)即可。但我们仔细地分析一下,不难发现,该公式的实质和一个一个找没什么区别,因为我们还是要遍历\(\sqrt{n}\)个数。

  所以,存在有效的算法吗?答案是肯定的!为什么不尝试着去计算\(n\)的平方根呢?按照这个思路,我们具体的算法,结合牛顿法,步骤如下:

  1. 初始值\(x_0=1\), 误差\(\epsilon\)足够小;
  2. 按照\(x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_{n}+\frac{n}{x_{n}})\)迭代,直至\(|x_{n}^{2}-n|\leq\epsilon\);
  3. 对\(x_{n}\)取整,结果为\(m\), 如果\(m\)的平方为\(n\),则\(n\)为平方数,否则不是平方数。

  接下来,我们证明这个算法的有效性。首先,我们证明对于\(n\geq1\),都有\(x_{n} > \sqrt{n}\)。我们使用数学归纳法。

  1. 当\(n=1\)时,\(x_{1}=\frac{1}{2}(1+n)>\sqrt{n}\).
  2. 假设\(x_{n}>\sqrt{n}\),则\(x_{n+1}-\sqrt{n}=\frac{x_{n}^{2}+n-2\sqrt{n}x_{n}}{2x_{n}}=\frac{(x_{n}-\sqrt{n})^{2}}{2x_{n}}>0\),所以\(x_{n+1}>\sqrt{n}\).

接着我们再证明\(x_{n}(n\geq1)\)序列递减。因为当\(n>0\)时,有

\[x_{n+1}-x_{n}=\frac{n-x_{n}^{2}}{2x_{n}}<0.
\]

这是因为当\(n\geq1\)时,有\(x_{n}>\sqrt{n}\).

  因此,我们利用第二步的迭代,不停地运算后,所得到的项\(x_{n}\)与\(\sqrt{n}\)很接近,只是稍微大一点。因此,该算法的第三步的判断就是正确的了。

  下面我们将会给出上述算法的Java程序代码,具体如下:

package Problems;

import java.math.BigInteger;
import java.math.BigDecimal; public class IS_Square {
public static void main(String[] args) { // 计算2**128+1
BigInteger F7 = new BigInteger("2").pow(128).add(BigInteger.ONE);
boolean w = is_square(F7);
if(w)
System.out.println(String.format("%s是完全平方数。", F7));
else
System.out.println(String.format("%s不是完全平方数。", F7)); } // 判断是否为完全平方数
public static boolean is_square(BigInteger F7){
// 牛顿法求解平方根, 求解a的平方根
// x为a的平方根,x的初始值为1, 按x = (x+a/x)/2迭代, 误差为error
BigDecimal x = BigDecimal.ONE;
BigDecimal a = new BigDecimal(F7.toString());
BigDecimal eps = new BigDecimal("1");
final BigDecimal error = new BigDecimal("1E-10");
int scale = 100; // 进入循环
while(eps.compareTo(error) == 1){ // eps > error
x = x.add(a.divide(x, scale, BigDecimal.ROUND_HALF_UP)).divide(new BigDecimal("2.0"), scale, BigDecimal.ROUND_HALF_UP);
eps = x.multiply(x).subtract(a).abs();
} BigInteger sqrt = x.toBigInteger(); // 求平方根的整数部分
if(sqrt.pow(2).compareTo(F7) == 0)
return true;
else
return false; } }

其输出结果如下:

340282366920938463463374607431768211457不是完全平方数。

如果将Java程序中的\(F7=2^{128}\),则输出结果为:

340282366920938463463374607431768211456是完全平方数。

  本次分享到此结束,欢迎大家交流~

Java之判断大整数是否为平方数的更多相关文章

  1. 【Java编程】Java中的大整数计算

    在上一篇文章中,我们实现了c语言中的大整数的运算,并且用Miller-Rabin算法实现了对大素数的测试.本来我准备用Java代码实现大整数的运算,查了一下资料发现Java中java.math的Big ...

  2. 手算平方根和基于 Java BigInteger 的大整数平方根的实现

    为了实现任意大数的运算,long用BigInteger替换带哦. 好了废话少数,先说数学原理,也就是手算平方根计算机代码实现!那么什么叫手算平方根了??? 手开方图解 据说前苏联的普通工人都会的(毛熊 ...

  3. JAVA版拆分大整数为2幂的和算法

    import java.util.ArrayList; import java.util.List; public class StrTest { public static void main(St ...

  4. 很火的Java题——判断一个整数是否是奇数

    完成以下代码,判断一个整数是否是奇数: public boolean isOdd(int i) 看过<编程珠玑>的人都知道这道题的答案和其中极为简单的道理. 最普遍的风格,如下: 这个函数 ...

  5. JAVA题目:正整数n若是其平方数的尾部,则称n为同构数 如:5*5=25, 25*25=625 问: 求1~99中的所有同构数

    1 /*题目:正整数n若是其平方数的尾部,则称n为同构数 2 如:5*5=25, 25*25=625 3 问: 求1~99中的所有同构数 4 */ 5 //分析:将1-99分为1-9和10-99,用取 ...

  6. 每日一练之大整数加法(P1255 数楼梯)

    走楼梯走一步还是两步的问题其实就是斐波那契数列(F(n)=F(n-1)+F(n-2),而在int型范围内存在45个相异的数,题干说明楼梯总数可以为5000,则考虑使用字符串进行存储.当两个数相加产生进 ...

  7. Java 实现大整数加减乘除

    自己用Java实现的大整数加减乘除运算.还有可以改进的地方,有兴趣的童鞋可以加以改进.仅供参考,请勿转载! package barrytest; import java.util.ArrayList; ...

  8. ACM学习之路————一个大整数与一个小整数不得不说得的秘密

    这个相对于两个大整数的运算来说,只能说是,low爆了. 只要利用好除法的性质,这类题便迎刃而解.O(∩_∩)O哈哈~ //大整数除一个int数 #include<iostream> #in ...

  9. 【老鸟学算法】大整数乘法——算法思想及java实现

    算法课有这么一节,专门介绍分治法的,上机实验课就是要代码实现大整数乘法.想当年比较混,没做出来,颇感遗憾,今天就把这债还了吧! 大整数乘法,就是乘法的两个乘数比较大,最后结果超过了整型甚至长整型的最大 ...

随机推荐

  1. MyBatis配置C3P0连接池

    一.导包 c3p0包     mybatis包 数据库的连接包 二.继承UnpooledDataSourceFactory的类 Mybatis 没有帮开发者实现 c3p0 数据库连接池,故需要使用者自 ...

  2. App性能测试之启动时间(安卓)手动+脚本

    这个测试可以使用adb工具,adb的安装方式 测试策略 安装后首次启动 常规冷启动 热启动(一般这个都很少测试) 针对1和2的测试方法 步骤1:在cmd中输入如下命令 adb logcat * > ...

  3. 学习笔记----php环境配置

    Php开发环境自定义搭建 (万事开头难) 第一步:Apache安装(httpd-2.4.37-win64-VC15.zip) 下载已编译apache安装包:Apachelounge官方下载地址:htt ...

  4. JS获取form表单数据

    以下代码可放在一个js文件中,以便通用: //获取指定表单中指定标签对象 function getElements(formId, label) { var form = document.getEl ...

  5. Microsoft Azure IoTHub Serials 2 - 如何为android应用添加IoTHub支持

    1. 在build.gradle(app)文件的dependencies中添加对以下项的依赖: 'com.microsoft.azure.sdk.iot:iot-device-client:1.5.3 ...

  6. Android NDK学习(二):编译脚本语法Android.mk和Application.mk

    一.Android.mk Android.mk分为一下几部分: LOCAL_PATH:= $(call my-dir), 返回当前文件在系统中的路径,Android.mk文件开始时必须定义该变量. i ...

  7. HBuilder+eclipse开发:使用ajax异步传值生成首字母索引

    使用ajax异步传值生成首字母索引大致有以下几个步骤: 1.服务器端使用servlet提取出数据库里的数据; 2.使用首字母工具类对数据进处理得到首字母; 3.再将首字母和数据一一对应存入json数组 ...

  8. .Net Core新建解决方案,添加项目引用,使用VSCode调试

    并不是我自己琢磨的,是看了别人学习的,因为写的都不完整,所以就整理一下记录后面忘了回看. 反正.Net Core是跨平台的,就不说在什么系统上了.假设我要建一个名为Doggie的解决方案,里面包含了一 ...

  9. 课程五(Sequence Models),第三周(Sequence models & Attention mechanism) —— 1.Programming assignments:Neural Machine Translation with Attention

    Neural Machine Translation Welcome to your first programming assignment for this week! You will buil ...

  10. ElasticSearch入门1: mac 安装

    入门学习顺序: 1. 安装: 1.1 单实例安装: Elastic官方网站: http://www.elastic.co 下载 ElasticSearch: 第一步:点击下载 第二步:点击downlo ...