【BZOJ2693】jzptab （莫比乌斯反演）

Description

给你$n$,$m$，求 $\sum^n_{i=1} \sum^m_{j=1} \ lcm(x,y)$

答案对$100000009$取模。

多组数据。

Input

第一行有一个正整数$t$表示数据组数

接下来$t$行每行有两个正整数$n$,$m$

Output

$t$行，第$i$行为第$i$组询问的答案。

HINT

对于$100\%$的数据：$t\leq 10000,n,m\leq {10}^7$

$100000009$不是一个质数。

题解：

第一次打莫演，手推公式。（我为什么会做这道题）

\begin{aligned}
ans&=\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\frac{ij}{gcd(i,j)}\\
&=\sum^n_d\sum^n_{i=1}\sum^m_{j=1}\frac{ij}{d}[gcd(i,j)=d]\\
&=\sum^n_d\sum^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}_{i=1}\sum^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}_{j=1}\frac{d^2ij}{d}[gcd(i,j)=1]\\
&=\sum^n_d\sum^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}_{i=1}\sum^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}_{j=1}dij\sum_{k\mid gcd(i,j)}\mu(k)&(\sum_{d\mid n}\mu(d)=[n=1])\\
&=\sum^n_k\mu(k)\sum^n_d\sum^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}_{i=1}[k\mid i]\sum^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}_{j=1}[k\mid j]dij\\
&=\sum^n_k\mu(k)\sum^n_d\sum^{\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor}_{i=1}\sum^{\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor}_{j=1}dk^2ij\\
&=\sum^n_k\mu(k)\sum^n_d\sum^{\lfloor\frac{n}{kd}\rfloor}_{i=1}i\sum^{\lfloor\frac{m}{kd}\rfloor}_{j=1}j\cdot dk^2\\
&设 T=kd\\
ans&=\sum^n_{T=1}\sum^{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor}_{i=1}i\sum^{\lfloor\frac{m}{T}\rfloor}_{j=1}j\sum_{d\mid T}\mu(\frac{T}{d})\frac{T^2}{d}
\end{aligned}

第一个部分 $ \sum^{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor}_{i=1}i\sum^{\lfloor\frac{m}{T}\rfloor}_{j=1}j $ 用等差数列求和 $O(1)$ 求出

第二个部分 $ \sum_{d\mid T}\mu(\frac{T}{d})\frac{T^2}{d} $ 线性筛 $O(n)$ 预处理处

设$ g(x)=\sum_{d\mid T}\mu(\frac{T}{d})\frac{T^2}{d} $，考虑怎么求$g(x)$

如果说x为质数，那么根据公式$g(x)=x-x^2$

如果$x$不为质数，我们设$x=i\times p$，其中$p$为质数，那么有两种情况

$p\nmid i$，由于$i$和$p$互质而$g(x)$为积性函数，$g(x)=g(i\times p)=g(i)\times g(p)$

$p\mid i$，这个时候就有点不是很好搞了……

我们可以把i表示为$t\times p^k$（$t$与$p$互质）

那么我们就尝试一下从乘了一个$p$会有什么影响这个方面来考虑一下

考虑$g(p^k)$的值，显然根据$\mu$的定义，只有$\mu(1)$和$\mu(p)$能够提供贡献（其他的$p$的指数都$>1$，所以都是$0$）

那么我们就可以得到$g(p^k)=f(1)p^k+f(p)p^{k-1}$

然后写出$g(p^{k+1})$的表达式，会发现是$f(1)p^{k+1}+f(p)p^k$

也就是说$g(p^{k+1})=g(p^k)p$

那么就可以得到$g(x)=g(i^p)=g(t\times p^k\times p)=g(t)\times g(p^k)\times p=g(x)\times p$

然后就可以顺利筛出来啦

最外层循环用数论分块，总时间 $O(\sqrt{n})$

CODE:

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;

 #define mod 100000009LL
 #define N 10000005
 int t,n,m,cnt,ans;
 long long pri[N],g[N],sum[N];
 bool vis[N];

 void init(){
     sum[]=g[]=;
     for(int i=;i<N;i++){
         sum[i]=1LL*i*(i+)/%mod;
         if(!vis[i]){
             g[i]=(i-1LL*i*i%mod+mod)%mod;
             pri[++cnt]=i;
         }
         for(int j=;j<=cnt&&i*pri[j]<N;j++){
             vis[i*pri[j]]=true;
             if(i%pri[j])
                 g[i*pri[j]]=g[i]*g[pri[j]]%mod;
             else
                 g[i*pri[j]]=g[i]*pri[j]%mod;
         }
     }
     for(int i=;i<N;i++)(g[i]+=g[i-])%=mod;
 }

 int main(){
     scanf("%d",&t);
     init();
     while(t--){
         scanf("%d%d",&n,&m);
         if(n>m)swap(n,m);
         ans=;
         for(int i=,pos=;i<=n;i=pos+){
             pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
             ans+=sum[n/i]*sum[m/i]%mod*(g[pos]-g[i-]+mod)%mod;
             ans%=mod;
         }
         printf("%d\n",ans);
     }
 }