洛谷P3312 [SDOI2014]数表（莫比乌斯反演+树状数组）

传送门

不考虑$a$的影响

设$f(i)$为$i$的约数和

$$ans=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf(gcd(i,j))$$

$$=\sum\limits_{d=1}^nf(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac m d \rfloor } [gcd(i,j)==1]$$

这个东西直接反演一下

$$=\sum\limits_{d=1}^nf(d)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac n d \rfloor}\mu(i) \lfloor \frac n {di} \rfloor \lfloor \frac m {di} \rfloor$$

然后转为枚举$di$

$$=\sum\limits_{D=1}^{n}\sum\limits_{d|D}f(d)\mu(\frac D d) \lfloor \frac n {D} \rfloor \lfloor \frac m {D} \rfloor$$

对于每一个$i$可以用整除分块把它前缀和的贡献算出来，然后用树状数组动态维护前缀和

然后我们考虑$a$的限制。把所有询问离线按$a$排序，从小到大处理处理询问，每处理到一个询问就把所有的$f(d)<=a$的$d$的贡献都累加起来，直接树状数组查询一下就可以了

然后听大佬们说这题取模直接自然溢出就可以了，然后不知道为啥最后还要$\&$一个$0x7fffffff$

 //minamoto
 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #define ui unsigned int
 using namespace std;
 #define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
 char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
 template<class T>inline bool cmax(T&a,const T&b){return a<b?a=b,:;}
 inline int read(){
     #define num ch-'0'
     char ch;bool flag=;int res;
     while(!isdigit(ch=getc()))
     (ch=='-')&&(flag=true);
     for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
     (flag)&&(res=-res);
     #undef num
     return res;
 }
 char sr[<<],z[];int C=-,Z;
 inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
 inline void print(int x){
     if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;
     while(z[++Z]=x%+,x/=);
     while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
 }
 const int N=1e5;
 int p[N];ui mu[N+],f[N+],c[N+],ans[N+];
 int a[N+],m,q,n,vis[N+];
 struct node{
     int n,m,val,id;
     node(){}
     node(int n,int m,int val,int id):n(n),m(m),val(val),id(id){}
     inline bool operator <(const node &b)const
     {return val<b.val;}
 }t[N];
 inline bool cmp(const int &a,const int &b){return f[a]<f[b];}
 inline void add(int x,ui y){
     for(;x<=N;x+=x&-x) c[x]+=y;
 }
 inline ui query(int x){
     ui res=;
     for(;x;x-=x&-x) res+=c[x];
     return res;
 }
 void init(){
     mu[]=;
     for(int i=;i<=N;++i){
         if(!vis[i]) p[++m]=i,mu[i]=-;
         for(int j=;j<=m&&p[j]*i<=N;++j){
             vis[i*p[j]]=;
             if(i%p[j]==) break;
             mu[i*p[j]]=-mu[i];
         }
     }
     for(int i=;i<=N;++i)
     for(int j=i;j<=N;j+=i)
     f[j]+=i;
     for(int i=;i<=N;++i) a[i]=i;
     sort(a+,a++N,cmp);
 }
 int main(){
 //    freopen("testdata.in","r",stdin);
     init();
     q=read();
     for(int i=,x,y,z;i<=q;++i){
         x=read(),y=read(),z=read();
         if(x>y) swap(x,y);cmax(z,);
         t[i]=node(x,y,z,i);
     }
     sort(t+,t+q+);
     for(int i=,j=,k;i<=q;++i){
         for(;f[a[j]]<=t[i].val;++j)
         for(k=a[j];k<=N;k+=a[j])
         add(k,f[a[j]]*mu[k/a[j]]);
         for(int l=,r;l<=t[i].n;l=r+){
             r=min(t[i].n/(t[i].n/l),t[i].m/(t[i].m/l));
             ans[t[i].id]+=(t[i].n/l)*(t[i].m/l)*(query(r)-query(l-));
         }
     }
     for(int i=;i<=q;++i) print(ans[i]&0x7fffffff);
     Ot();
     return ;
 }