【题解】[CJOI2019]Cipher

【题解】[CJOI2019]Cipher

题目描述

给定你\(p\)进制数\(s\),\(p \le 9+26\),求对于十进制数\(k\)，求\(k^s \equiv ? \mod m\)

数据范围

\(len(s)\le10^5\)

\(Solution\)

我给的题意其实很简略了，代码里一些细枝末节有所不同，比如\(s\)读入和\(p\)的确定。

考虑题目\(k^s\)代数变形：,\(a_i\)表示\(s\)第\(i\)位上的数。

\[
k^{\Sigma a_ip^{i-1}}=\prod k^{a_ip^{i-1}}=\prod ({k^{p^{i-1}}})^{a_i} \dots \ (1)
\]

其中，可以有恒等式
\[
k^{p^{i+1}}=(k^{p^i})^p
\]

记为
\[
f(i)=k^{p^i},
\]

则有

\[
f(i+1)=f(i)^p
\]

所以

\[
(1)=\prod f(i-1)^{a_i}
\]

预处理\(f(i)​\) ，快速幂处理所有的次方，复杂度\(O(nlogn)​\)

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
#define RP(t,a,b) for(register int t=(a),edd=(b);t<=edd;++t)
#define DRP(t,a,b) for(register int t=(a),edd=(b);t>=edd;--t)
#define ERP(t,a) for(register int t=head[a];t;t=e[t].nx)
#define Max(a,b) ((a)<(b)?(b):(a))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define midd register int mid=(l+r)>>1
#define TMP template < class ccf >
typedef long long ll;
int cnt;
#define int ll
TMP inline ccf qr(ccf b){
    char c=getchar();
    int q=1;
    ccf x=0;
    while(c<48||c>57)
    q=c==45?-1:q,c=getchar();
    while(c>=48&&c<=57)
    x=x*10+c-48,c=getchar();
    return q==-1?-x:x;
}
ll k,mod;
ll p;
string t1;
const int maxn=1e5+15;
int data[maxn];

inline int trans(char x){
    if(x>=48&&x<=57)
    return x-48;
    return x-'a'+10;
}

inline ll ksm(ll base,ll x){
    ll ret=1;
    while(x){
    if(x&1ll)
        ret*=base,ret%=mod;
    base*=base;
    base%=mod;
    x>>=1;
    }
    return ret%mod;
}

inline void wk(){
    ll ans=1;
    ll base=k;
    RP(t,1,cnt){
    ans*=ksm(base,data[t]);
    base=ksm(base,p);
    ans%=mod;
    }
    cout<<ans%mod<<endl;
    return;
}

string qaq;
inline void qrqr(){
    p=0;
    cnt=0;
    memset(data,0,sizeof data);
    DRP(t,qaq.length()-1,0){
    cnt++;
    data[cnt]=trans(qaq[t]);
    p=Max(p,data[cnt]+1);
    }
}

signed main(){

    freopen("cipher.in","r",stdin);
    freopen("cipher.out","w",stdout);

    k=qr(1ll);
    mod=qr(1ll);

    while(cin>>qaq)
    qrqr(),wk();

    return 0;
}