P2764 [网络流24题]最小路径覆盖问题[最大流]

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这题有个转化，求最少的链覆盖→即求最少联通块。

设联通块个数$x$个,选的边数$y$,点数$n$个

那么有 $y=n-x$   即  $x=n-y$

而n是不变的,目标就是在保证每个点入度、出度不大于1的前提下让选的边尽可能地多。

下面网络流建模。

利用二分图匹配建图，左右两点集都包含 n 个点，左点集代表 u 的出度，右点集代表 u 的入度。对于原图中的边 (u,v)，从 左边的u点 向 右边的v点 连一条容量为 1 的 边，左点集与超级源点、右点集与超级汇点都分别连一条容量 1 的边，然后从源点做最大流，容量设1保证了我们每个点只流向另外唯一一个点，不会重叠。最大流即为所选边在满足条件下的最多数量。答案就是$n-y$。

spj那个的话就只要找到每一块的起点，也就是入度为0，这个看代码。找到起点就往后查残量为0的边顺着跑到底就行啦。

注意，这个只能是对DAP有效。有环的话就不行了，连通块会多余边会被流过，可以画一下。

 #include<bits/stdc++.h>
 using namespace std;
 typedef long long ll;
 typedef pair<int,int> pii;
 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A<B?A=B,:;}
 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A>B?A=B,:;}
 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
 template<typename T>inline T read(T&x){
     x=;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(isalpha(c))return x=(int)c;
     while(isdigit(c))x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();return x;
 }
 const int N=+,M=+,INF=0x3f3f3f3f;
 int w[M<<],v[M<<],Next[M<<],Head[N<<],cur[N<<],dis[N<<],tot=,s,t,n,m;
 inline void Addedge(int x,int y,int z){
     v[++tot]=y,Next[tot]=Head[x],Head[x]=tot,w[tot]=z;
     v[++tot]=x,Next[tot]=Head[y],Head[y]=tot,w[tot]=;
 }
 #define y v[j]
 inline char bfs(){
     queue<int> q;q.push(s),memset(dis,,sizeof dis),dis[s]=;
     for(register int i=;i<=(n<<)+;++i)cur[i]=Head[i];
     while(!q.empty()){
         int x=q.front();q.pop();
         for(register int j=Head[x];j;j=Next[j])if(w[j]&&!dis[y]){
             dis[y]=dis[x]+,q.push(y);
             if(y==t)return ;
         }
     }
     return ;
 }
 int dinic(int x,int flow){
     if(!flow||x==t)return flow;
     int rest=flow,k;
     for(register int j=cur[x];j&&rest;cur[x]=j,j=Next[j])if(w[j]&&dis[y]==dis[x]+){
         if(!(k=dinic(y,_min(rest,w[j]))))dis[y]=;
         rest-=k,w[j]-=k,w[j^]+=k;
     }
     return flow-rest;
 }
 #undef y
 int x,y,ans;
 inline void print(int x){
     printf("%d ",x);
     for(register int j=Head[x];j;j=Next[j])if(v[j]<s&&!w[j])print(v[j]-n);
 }

 int main(){//freopen("tmp.in","r",stdin);freopen("tmp.out","w",stdout);
     read(n),read(m);s=*n+,t=*n+;
     for(register int i=;i<=n;++i)Addedge(s,i,);
     for(register int i=n+;i<=n*;++i)Addedge(i,t,);
     for(register int i=;i<=m;++i)read(x),read(y),Addedge(x,y+n,);
     while(bfs())ans+=dinic(s,INF); ans=n-ans;
     for(register int i=n+;i<s;++i){//  s <==> n*2+1
         int tmp=;
         for(register int j=Head[i];j;j=Next[j])if(v[j]<=n&&w[j]){tmp=;break;}
         if(!tmp)print(i-n),puts("");
     }
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }