数据结构系列（4）之 B 树

本文将主要讲述另一种树形结构，B 树；B 树是一种多路平衡查找树，但是可以将其理解为是由二叉查找树合并而来；它主要用于在不同存储介质之间查找数据的时候，减少 I/O 次数（因为一次读一个节点，可以读取多个数据）；

一、结构概述

B 树，多路平衡查找树，即有多个分支的查找树；如图所示：

B 树主要应用于多级存储介质之间的查找，图中的蓝色节点为外部节点，代表下一级存储介质；绿色节点则为内部节点；同时我们将B 树按照其最大分支树进行分类，比如图中的则为4 阶B 树；

对于 m 阶 B 树（m >= 2）：

• 外部节点的深度统一相等，叶子节点的深度统一相等，树高等于外部节点深度；
• 内部节点不超过（m-1）个关键码，不超过 m 路分支，同时不少于（⌈m /2⌉）路分支，但是根节点最少一路分支即可；
• 所以 m 阶 B 树又称为（⌈m /2⌉，m）树；

public class BTree<E extends Comparable<? super E>> implements Iterable<E> {
  private Node<E> root;
  private final int order;
  private final int MAX_KEYS;
  private final int MIN_KEYS;
  private int height;
  private int totalSize;

  final class Node<T> {
    Object[] values;
    Node<T>[] children;
    Node<T> parent;
    boolean isLeaf;
    int size;

    Node() {
      this.values = new Object[order];      // 实际只有order-1个关键码，超出时会分裂；
      this.children = new Node[order + 1];  // 同样+1；
      this.isLeaf = true;
      this.size = 0;
    }
  }
}

二、节点修复

因为B 树节点的在[ ⌈m/2⌉ - 1， m -1 ]之间，所以在动态插入和删除的过程中一定会发生不平衡，下面将介绍修复不平衡的几种方法；

1. 分裂

插入时当节点的关键码超过 m-1 ，就将大节点分为两个小节点；如图：

分裂时：

• 将第 ⌊m/2⌋ 个关键码移入父节点；
• 分成的两个节点，则成为新关键码的左右孩子节点；（需要新增节点，并移动节点信息）；
• 再递归的检查其父节点的关键码是否超过；

实现：

private void split(Node<E> p) {
  Node<E> parent = p.parent;
  if (parent == null) {        // parent为null，即当前节点为root，需要上升高度（唯一会导致树高度增加的操作）
    parent = new Node<E>();
    parent.isLeaf = false;     // 设置为非叶子节点
    root = parent;             // 更新root节点
    height++;                  // 高度加1
  }

  int mid = (p.size - 1) >>> 1; // 需要上一的关键码
  Node<E> left = new Node<E>(); // 分裂，创建一个新的空节点
  Node<E> right = p;            // 右边节点为原来的节点
  left.isLeaf = p.isLeaf;       // 节点是否叶子，取决于分裂前是否叶子。

  // 更新孩子节点的parent指针
  if (!p.isLeaf) {
    for (int i = 0; i <= mid; ++i) {  // 左子树的孩子应该指向左子树。
      p.children[i].parent = left;
    }
  }
  parent.insertToNonLeaf((E) p.values[mid], left, right); // 把中间节点插入父节点。

  int i, j;
  // 拷贝右子树信息到左子树。
  for (i = 0; i < mid; ++i) {
    left.values[i] = right.values[i];
    left.children[i] = right.children[i];
  }
  left.children[i] = right.children[mid];
  left.size = mid;  // 更新左子树关键字数量

  // 删除右子树多余关键字和孩子，因为已经拷贝到左孩子中去了。
  for (i = mid + 1, j = 0; i < right.size; ++i, ++j) {
    right.values[j] = right.values[i];
    right.children[j] = right.children[i];
  }
  right.children[j] = right.children[right.size]; // 更新最后一个孩子节点, 注意奇数j == mid，但偶数不是。。
  right.size = right.size - mid - 1;              // 更新右子树关键字数量
  left.parent = parent;                           // 把子树的父亲节点更新
  right.parent = parent;
  if (parent.size > MAX_KEYS)                      // 如果父亲节点也达到最大关键字数量，需要递归分裂。
    split(parent);
}

int insertToNonLeaf(T key, Node<T> left, Node<T> right) {
    int index = insertIndex(key);
    if (index < 0) return index;

    for (int i = size; i > index; --i) {
        values[i] = values[i - 1];
        children[i + 1] = children[i];
    }
    children[index] = left;
    children[index + 1] = right;
    values[index] = key;
    size++;
    return index;
}

2. 旋转

删除节点时，可能会导致节点的关键码数量小于 ⌊m/2⌋，此时可以向他的左孩子或者右孩子，借一个关键码；如图：

图中：

• 首先检查发现没有左兄弟，并且右兄弟可以借出
• 然后左旋转父节点，父节点的关键码进入补齐，右兄弟的关键码进入父节点；

右孩子富裕时左旋：

private void leftRotate(Node<E> p) {
  Node<E> right = rightSibling(p);   // 获取右兄弟
  int myRank = rankInChildren(p);    // 获取在父节点中的秩
  Object oldSeparator = p.parent.values[myRank];
  p.values[p.size] = oldSeparator;
  p.size++;
  Object newSeparator = right.values[0];
  Node<E> child = right.isLeaf ? null : right.children[0];  // 获取右兄弟中最小的关键码
  int i;
  for (i = 0; i < right.size - 1; ++i) {
    right.values[i] = right.values[i + 1];
    if (!right.isLeaf)
      right.children[i] = right.children[i + 1];
  }
  if (!right.isLeaf) {
    right.children[right.size - 1] = right.children[right.size];
    child.parent = p;
    p.children[p.size] = child;
  }
  right.size--;
  p.parent.values[myRank] = newSeparator;
}

private Node<E> rightSibling(Node<E> p) {
  if (p == null || p.parent == null) // 根节点无兄弟节点
    return null;
  Node<E> parent = p.parent;
  int i = rankInChildren(p);
  if (i >= 0 && i < parent.size) {
    return parent.children[i + 1];
  }
  return null;
}

左孩子富裕时右旋：

private void rightRotate(Node<E> p) {
  Node<E> left = leftSibling(p);
  int myRank = rankInChildren(p);
  Object oldSeparator = p.parent.values[myRank - 1];
  Node<E> child = null;
  if (!left.isLeaf) {
    child = left.children[left.size];
    p.children[p.size + 1] = p.children[p.size];
  }

  for (int i = p.size; i >= 1; --i) {
    p.values[i] = p.values[i - 1];
    if (!p.isLeaf)
      p.children[i] = p.children[i - 1];
  }

  if (!left.isLeaf) {
    child.parent = p;
    p.children[0] = child;
  }
  p.values[0] = oldSeparator;
  p.size++;
  Object newSeparator = left.values[left.size - 1];
  left.size--;
  p.parent.values[myRank - 1] = newSeparator;
}

private Node<E> leftSibling(Node<E> p) {
  if (p == null || p.parent == null) return null;
  Node<E> parent = p.parent;
  int i = rankInChildren(p);

  if (i >= 1) return parent.children[i - 1];
  return null;
}

3. 合并

当左右孩子的关键码都不足以借出时，则将两个孩子合并，如图：

图中：

• 首先左右兄弟都不足以借出
• 从父节点借得一个关键码；
• 然后以借得的关键码为粘合左右兄弟节点；
• 最后需要检查父节点是否平衡；

实现：

private void merge(Node<E> p) {
  Node<E> parent = p.parent;
  assert (parent != null);
  Node<E> left = p; // left node 或者是当前节点，即贫困节点，或者是当前节点的左兄弟节点。
  Node<E> right = rightSibling(p);
  if (right == null) {
    left = leftSibling(p);
    right = p;
  }
  int myRank = rankInChildren(left);
  // 把父亲节点的Separator下移到需要合并的节点left
  Object separator = parent.values[myRank];
  left.values[left.size] = separator;
  left.size++;
  // 从父亲节点中删除Separator
  for (int i = myRank; i < parent.size - 1; i++) {
    parent.values[i] = parent.values[i + 1];
    parent.children[i + 1] = parent.children[i + 2];

  }
  //FIXME
  parent.values[parent.size - 1] = null;
  parent.children[parent.size] = null;
  parent.size--;
  // 拷贝右节点到左节点
  for (int i = 0; i < right.size; ++i) {
    left.size++;
    left.values[left.size - 1] = right.values[i];
    if (!left.isLeaf) {
      right.children[i].parent = left; // donot forget it.
      left.children[left.size - 1] = right.children[i];
    }
  }
  // 不要忘记最后一个孩子更新。
  if (!left.isLeaf) {
    right.children[right.size].parent = left;
    left.children[left.size] = right.children[right.size];
  }
  // 如果父亲节点也贫困了，需要从父亲节点重新调整，直到满足平衡或者父亲节点就是root节点
  if (parent.size < MIN_KEYS) {
    if (parent.size == 0 && parent == root) {
      root = left;
      root.parent = null;
      height--;
    } else {
      rebalancingAfterDeletion(parent);
    }
  }
}

三、查找

查找时采取逐层查找：

• 查找不大于目标关键码的最大值；
• 精确对比是否命中，若没有命中则深入孩子节点

实现：

public Node<E> search(E e) {
  Node<E> v = root;
  while (v != null) {       // 逐层查找
    int r = v.search(e);     // 在当前节点中，找到不大于e的最大关键码
    if (r >= 0 && cmp(e, v.values[r]) == 0) {
      return v;
    }
    v = v.children[r + 1];     // 转入对应子树——需做I/O，最费时间
  }
  return null;
}

int search(T key) {
  int low = 0;
  int high = size - 1;

  do {
    int mi = (low + high) >> 1;
    if (cmp(key, values[mi]) < 0) {
      high = mi;
    } else {
      low = mi + 1;
    }
  } while (low < high);

  return --low;
}

四、插入

public boolean add(E key) {
  if (key == null) {
    return false;
  }
  if (root == null) {
    root = new Node<E>();
    this.height = 1;
    this.totalSize = 0;
  }
  boolean inserted = insert(key, root);
  if (inserted) {
    ++totalSize;
    ++modCount;
    return true;
  } else {
    return false;
  }
}

private boolean insert(E key, Node<E> p) {
  assert (p != null);
  if (!p.isLeaf) { // 总是插入到叶子中，不可能直接插入到内部节点
    int index = p.insertIndex(key); // 获取插入位置，如果 < 0说明已存在
    if (index < 0) // index < 0 说明key已存在
      return false;
    return insert(key, p.children[index]); // 插入的位置就是孩子的位置
  }
  boolean inserted = p.insertToLeaf(key) >= 0; // p是叶子节点，直接插入。

  if (p.size > MAX_KEYS) { // 如果关键字多于最大关键字数量，需要分裂节点。
    split(p);
  }
  return inserted;
}

int insertToLeaf(T key) {
  int index = insertIndex(key);
  if (index < 0)
    return index;
  for (int i = size; i > index; --i) {// 移动向右key
    values[i] = values[i - 1];
  }
  values[index] = key;
  ++size;
  return index;
}

五、删除

public boolean remove(E e) {
  if (root == null) {
    return false;
  }
  boolean isRemoved = remove(e, root);
  if (isRemoved) {
    --totalSize;
    ++modCount;
  }
  return isRemoved;
}

private boolean remove(E e, Node<E> p) {
  if (p.isLeaf) { // 删除的关键字在叶子节点中，直接删除，然后重新调整
    boolean isRemoved = p.deleteFromLeaf(e);
    if (p.size < MIN_KEYS) {
      rebalancingAfterDeletion(p); // rebalances the tree
    }
    return isRemoved;
  }
  int index = p.binarySearch(e);
  if (index < 0) { // 不在吃节点中，递归从子树中查找。
    return remove(e, p.children[-index - 1]); // -index - 1就是插入位置，即孩子节点位置。
  }
  // 删除的是内部节点，需要寻找左子树最大节点（或者右子树中最小节点）作为新分隔符替换删除的关键字。
  Node<E> leftLeaf = leftLeaf(p, index);// 寻找左子树最右节点。
  Object candidate = leftLeaf.values[leftLeaf.size - 1];
  //从叶子节点中移除候选节点
  leftLeaf.values[leftLeaf.size - 1] = null;
  leftLeaf.size--;
  //候选节点作为分隔符替代删除的节点。
  p.values[index] = candidate;
  //重新调整树使其平衡。
  if (leftLeaf.size < MIN_KEYS) {
    rebalancingAfterDeletion(leftLeaf);
  }
  return true;
}

boolean deleteFromLeaf(T key) {
  int index = binarySearch(key);
  if (index < 0)
    return false;
  for (int i = index; i < size; ++i) {
    values[i] = values[i + 1];
  }
  this.size--;
  return true;
}

private void rebalancingAfterDeletion(Node<E> p) {
  if (p == root) { // 说明p是root节点，不需要处理
    return;
  }

  Node<E> left = leftSibling(p); // 获取左兄弟
  if (left != null && left.size > MIN_KEYS) { // 左兄弟很富裕, 右旋转。
    rightRotate(p);
    return;
  }

  Node<E> right = rightSibling(p); // 右兄弟
  if (right != null && right.size > MIN_KEYS) { // 如果右兄弟节点富裕，左旋转。
    leftRotate(p);
    return;
  }

  merge(p);
}

总结

• 通常情况下B 树节点的大小设置会和缓存页相当，以保证一次能够获取更多的关键码，以减少 I/O；
• B 树仍然还有很多的变种，甚至红黑树也和（2,4）B 树息息相关，后面的章节会继续讲到；