bzoj 4008: [HNOI2015]亚瑟王

Description

小 K 不慎被 LL 邪教洗脑了，洗脑程度深到他甚至想要从亚瑟王邪教中脱坑。

他决定，在脱坑之前，最后再来打一盘亚瑟王。既然是最后一战，就一定要打得漂

亮。众所周知，亚瑟王是一个看脸的游戏，技能的发动都是看概率的。作为一个非

洲人，同时作为一个前 OIer，小 K 自然是希望最大化造成伤害的期望值。但他已

经多年没写过代码，连 Spaly都敲不对了，因此，希望你能帮帮小 K，让他感受一

下当欧洲人是怎样的体验。

本题中我们将考虑游戏的一个简化版模型。

玩家有一套卡牌，共 n张。游戏时，玩家将 n 张卡牌排列成某种顺序，排列后

将卡牌按从前往后依次编号为 1 ~ n。本题中，顺序已经确定，即为输入的顺序。

每张卡牌都有一个技能。第 i 张卡牌的技能发动概率为 pi，如果成功发动，则会对

敌方造成di点伤害。也只有通过发动技能，卡牌才能对敌方造成伤害。基于现实因

素以及小K非洲血统的考虑，pi不会为 0，也不会为 1，即 0 < pi < 1。

一局游戏一共有 r 轮。在每一轮中，系统将从第一张卡牌开始，按照顺序依次

考虑每张卡牌。在一轮中，对于依次考虑的每一张卡牌：

1如果这张卡牌在这一局游戏中已经发动过技能，则

1.1 如果这张卡牌不是最后一张，则跳过之（考虑下一张卡牌）；

否则（是最后一张），结束这一轮游戏。

2否则（这张卡牌在这一局游戏中没有发动过技能），设这张卡牌为第 i 张

2.1将其以 pi的概率发动技能。

2.2如果技能发动，则对敌方造成 di点伤害，并结束这一轮。

2.3如果这张卡牌已经是最后一张（即 i 等于n），则结束这一轮；否则，

考虑下一张卡牌。

请帮助小 K 求出这一套卡牌在一局游戏中能造成的伤害的期望值。

解题报告:

这题用到了期望的线性性质，即 \(E(xy)=E(x)+E(y)\)

那么这样就可以转化为求出每一张牌的使用概率，最后乘上该牌的伤害值即可

考虑如何求使用的概率：

定义\(f[i][j]\)表示前i张牌，有j张牌用在了i之前，那么对于第i张牌就有打或不打两种转移:

\(f[i][j]=f[i-1][j]*(1-q[i])^{r-j}\)

\(f[i][j]=f[i-1][j-1]*(1-(1-q[i])^{r-j})\)

因为有j张牌打在i之前，所以与i无关，剩下的r-j张牌如果不打在i上，那么每一回合i就贡献\((1-q[i])\),所以乘上\((1-q[i])^{r-j}\)

最后i使用的概率\(v[i]=\sum_{j=0}^{m}f[i-1][j]*(1-(1-q[i])^{r-j})\)

这样累加可以保证i必然打出

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N=225;
double p[N],f[N][N],t[N][N],v[N];int n,m,d[N];
void work()
{
	memset(f,0,sizeof(f));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]);
	}
	for(int j=1;j<=n;j++){
		t[j][0]=1;
		for(int i=1;i<=m;i++)t[j][i]=t[j][i-1]*(1-p[j]);
	}
	f[1][0]=t[1][m];f[1][1]=1-t[1][m];v[1]=1-t[1][m];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		v[i]=0;
		for(int j=0,tmp=Min(m,i);j<=tmp;j++){
			v[i]+=f[i-1][j]*(1.0-t[i][m-j]);
			f[i][j]+=f[i-1][j]*t[i][m-j];
			if(j)f[i][j]+=f[i-1][j-1]*(1.0-t[i][m-j+1]);
		}
	}
	double ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans+=d[i]*v[i];
	}
	printf("%.10lf\n",ans);
}

int main()
{
	int T;cin>>T;
	while(T--)work();
	return 0;
}