●BZOJ 4008 [HNOI2015]亚瑟王

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4008
题解：

概率dp，神仙题
如果我们可以求出每种牌被取到的概率f，那么最后期望造成的伤害也就很好计算了。
定义dp[i][j]表示有j轮游戏在1～i中的某张牌处就结束的概率。
那么此时我们考虑dp[i][j]会怎样对f[i+1]造成贡献：
只剩下了R-j轮游戏进行到了第i+1张牌，怎么计算这种情况下第i+1张牌发动技能的概率g呢？
(令p为其发动技能的概率,并给这R-j轮游戏重新依次编号为1，2,……,R-j)
显然有:g=p+(1-p)*p+(1-p)^2*p+p……+(1-p)^(R-j-1)*p
上式表示重新编号后的在第1轮发动技能的概率+在第2轮发动技能的概率+……+在第R-j轮发动技能的概率。
然而不需要这么麻烦的计算，因为上面的g=1-(1-p)^(R-j)，（自己YY为什么是对的吧）
然后把对f[i+1]进行贡献：f[i+1]+=dp[i][j]*g

接下来考虑如何转移dp[i][j]:
1.这R-j轮可以进行到第i+1张牌的机会都没有让其发动技能：
dp[i+1][j]+=dp[i][j]*(1-p)^(R-j)
2.这R-j轮可以进行到第i+1张牌的机会让其发动了一次技能：
dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*(1-(1-p)^(R-j))

然后就是不断转移dp的同时去求出f[]数组。

（真的是神仙题，题解都看了好久，好像第一次遇到这种定义了一个莫名其妙的dp状态去辅助求出另外一个东西从而得出答案的题。。。）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
double dp[250][150],p[250],f[250],ans;
int d[250];
int N,R,Case;
double fastpow(double a,int b){
	double ret=1;
	for(;b;a=a*a,b>>=1)
		if(b&1) ret*=a;
	return ret;
}
int main(){
	for(scanf("%d",&Case);Case;Case--){
		scanf("%d%d",&N,&R);
		for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%lf%d",&p[i],&d[i]),f[i]=0;
		for(int i=0;i<=N;i++) for(int j=0;j<=R;j++) dp[i][j]=0;
		dp[0][0]=1; ans=0;
		for(int i=0;i<N;i++)
			for(int j=0;j<=R;j++){
				double k=fastpow(1-p[i+1],R-j);
				dp[i+1][j]+=dp[i][j]*k;
				if(j+1<=R){
					dp[i+1][j+1]+=dp[i][j]*(1-k);
					f[i+1]+=dp[i][j]*(1-k);
				}
			}
		for(int i=1;i<=N;i++) ans+=f[i]*d[i];
		printf("%.10lf\n",ans);
	}
	return 0;
}