BZOJ.4052.[Cerc2013]Magical GCD(思路)

BZOJ

\(Description\)

给定\(n\)个数的序列\(a_i\)。求所有连续子序列中，序列长度 × 该序列中所有数的gcd 的最大值。

\(n\leq10^5,\ a_i\leq10^{12}\)。

\(Solution\)

gcd有结合律，而且gcd每次改变至少会变小两倍，而且只会减小。

所以对于每个右端点，可以暴力维护每种gcd出现的最靠前的位置（只有\(log\)种gcd）。

详细一点就是这样的：

枚举右端点\(i\)。

栈里现在维护的是右端点为\(i-1\)时，每种\(\gcd_j\)，以及该\(\gcd_j\)的最靠前的位置\(p_j\)（当右端点为\(i-1\)，左端点在\([p_j,\ p_{j+1})\)的时候，\(\gcd(a_l,a_{l+1},...,a_{i-1})\)的值为\(\gcd_j\)）（只需要用到最远的距离，所以就只存最靠前的位置了）。

这样栈里一直最多只有\(\log\)个元素。

然后用\(a_i\)更新栈里的元素，就是所有元素都和\(a_i\)求一下\(\gcd\)。这样我们能得到一个新的栈。

然后对这个栈去重，就是相邻\(j,j+1\)的\(\gcd\)可能相同，把它们合并（\(j+1\)扔掉），只保留位置更靠前的那个\(j\)就好了。

在得到这个新栈的时候，每次和\(\gcd_j\)求一次\(\gcd\)（假设结果是\(g\)），都可以用\(g*(i-p_j+1)\)更新答案。

//1116KB	620MS
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <algorithm>
//#define gc() getchar()
#define MAXIN 300000
#define gc() (SS==TT&&(TT=(SS=IN)+fread(IN,1,MAXIN,stdin),SS==TT)?EOF:*SS++)
typedef long long LL;
const int N=105;

char IN[MAXIN],*SS=IN,*TT=IN;

inline LL read()
{
	LL now=0; register char c=gc();
	for(;!isdigit(c);c=gc());
	for(;isdigit(c);now=now*10+c-'0',c=gc());
	return now;
}
LL Gcd(LL x,LL y)
{
	return y?Gcd(y,x%y):x;
}

int main()
{
	static int pos[N];
	static LL val[N];

	for(int T=read(); T--; )
	{
		int n=read(); LL ans=0;
		for(int i=1,t=0; i<=n; ++i)
		{
			LL ai=read();
			int las=t; t=0;
			for(int j=1; j<=las; ++j)
			{
				LL tmp=Gcd(val[j],ai);
				if(val[t]!=tmp) val[++t]=tmp, pos[t]=pos[j], ans=std::max(ans,tmp*(i-pos[j]+1));
			}
			if(val[t]!=ai) val[++t]=ai, pos[t]=i, ans=std::max(ans,ai);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}