STL next_permutation 算法原理和实现
转载自:https://www.cnblogs.com/luruiyuan/p/5914909.html
目标
STL中的next_permutation 函数和 prev_permutation 两个函数提供了对于一个特定排列P,求出其后一个排列P+1和前一个排列P-1的功能。
这里我们以next_permutation 为例分析STL中实现的原理,prev_permutation 的原理与之类似,我们在最后给出它们实现上差异的比较
问题:
给定一个排列P,求出其后一个排列P+1是什么。
思路
按照字典序的定义不难推出,正序,是一组排列中最小的排列,而逆序,则是一组排列中最大的排列。
从字典序的定义出发,我们可以看到,n个元素的排列全排列中,从给定排列P 求解下一排列P+1 ,假设两个排列有前k位是相同的(0<=k<=n),那么我们只需要在后面n-k个元素的排列 P(n-k)中求得下一个排列即可。
既然我们关心的是后面 n-k位的排列,那么不妨开开脑洞,从后向前考察排列。
首先我们举一个比较极端的例子:排列 1 2 3 4 5
很显然,这是一个正序排列(递增序列),因此这是这几个数字所组成的排列中最小的排列,记为P1.
现在我们要求出P2,P2是 1 2 3 5 4. 我们可以看到,P2的前三位和P1的前三位的排列完全相同,唯一的变化是最后两位颠倒顺序,这一顺序的颠倒有何玄机呢?——使得最后两位从正序的 4 5 变成了逆序的 5 4.
接着求P3.P3是 1 2 4 3 5. 我们看到,最后两位已经是逆序,不可能有字典序更大的排列,因此必须考虑更多的位,在后3个元素中,3 5 4 显然不是逆序,因此一定存在字典序更大的排列方式,我们由此确定了n-k==3
我们现在要在 3 5 4 中求得下一个排列,3 5 4 不是一个逆序,是因为 3 后面有元素大于3 。我们要在大于3的数字中选择最小的那个,和3交换,因为这样可以保证得到最小的首位元素。对于这个例子,我们选择将3和4进行交换,而不是3 和 5,这样得到的首位元素是4. 现在我们得到了排列 4 5 3 。
显然,4 5 3 并不是我们想要的下一个排列,下一个排列是 4 3 5. 观察区别,不难看出,首位元素一定是4,但是5 3 这个子排列是一个逆序排列。
为什么会是逆序排列?
因为我们寻找的时候就以是不是逆序为分割点,3 恰好是第一个非逆序的元素,而4作为与3 交换的元素,又比3要大,因此交换后得到的 5 3 一定是逆序的排列。
逆序排列没有下一排列,但是将逆序排列反向后,我们就得到了对应的正序排列,而正序排列是当前元素所能形成的最小排列,因此,4 3 5 是4 为首位元素所能形成最小排列,而前3 位没有变化,故我们得到了下一排列P3.
另外,大于3的最小元素,即4 ,也是第一个大于3的元素,因为 5 4 是个逆序排列。
更一般地,例如对于可重集排列 1 2 3 7 6 5 2 1
我们首先寻找第一个非逆序元素,这里是3,然后从后向前寻找第一个大于3的元素,这里是5,交换,得到 5 7 6 3 2 1 的子排列,然后反向,即可得到下一排列。如果没有找到第一个非逆序元素,那么说明该排列已经是最大排列。
我的理解是:既然要找下一个排列的化,我们就要从后面找到最大的逆序子排列,然后从中找到最小的大于第一个非逆序元素的元素,然后就交换他们的值,这就保证了它在大于原序列的排列中是最接近的,因为逆序排列是一个排列中字典序最大的
那个,所以我们为了使它和原排列最接近,我们要把它转换成升序排列,因为升序排列是一个排列中字典序最小的,这就保证了得到的排列是原排列的下一个排列。
例:如果我们要求 1 6 3 4 7 6 3 1的下一个排列
我们先从后面找到最长的逆序排列:7 6 3 1
因为7 6 3 1这个子排列是最大的排列,所以我们不能找到比它更大的排列(对于这个长度为4的子排列)
所以我们要通过更改这个逆序列前面的一个数字来使它变,因为要找到它的下一个排列,所以我们要找的是比原排列更大的最小的那个
我们就从逆序列中找到最小的比第一个非逆序数列数字大的数字,然后交换他们的值,交换后的逆序列任然是逆序的(因为我们找的是最小的比第一个非逆序数列数字大的数字,交换后它还是小于它前面的数字,大于它后面的数字)
又因为逆序排列是最大的,我们要找最小的,只要把它翻转过来就可以了,然后和前面的连接在一起就得到了下一个排列
代码:
#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
string nextpermutation(string a){
int i,ii,j;
if(a.size()==1)
return a;
i=a.size()-1;
ii=a.size()-2;
while(ii>=0&&(a[ii]>=a[i])){//从后面找到最长的逆序子排列
ii--;
i--;
}
int k=-1;
if(ii>=0){
for(j=a.size()-1;j>ii&&k<0;j--){//从逆序排列中找最小的大于第一个非逆序排列数字的数字
if(a[ii]<a[j]){
k=j;
}
}
swap(a[k],a[ii]);
}
reverse(a.begin()+ii+1,a.end());
return a;
}
int main(){
string s,a,b;
cin>>s;
for(a=s;b!=s;a=b){
cout<<a<<endl;
b=nextpermutation(a);
}
return 0;
}
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