Codeforces 264C Choosing Balls 动态规划

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题目传送门 - CF264C

题意

　　给定一个有 $n$ 个元素的序列，序列的每一个元素是个球，第 $i$ 个球具有 $v_i$ 的值，颜色为 $c_i$ 。

　　一个序列的价值为每一个球价值和。

　　在一个序列中，第 $i$ 个球的价值为：

　　当 $c_i=c_{i-1}(i>1)$ 时，$value=a\times v_i$。

　　否则， $value=b\times v_i$ 。

　　接下来有 $q$ 组询问，每组询问给定 $a,b$ ，问在当前给定的 $a,b$ 下，原序列所有子序列（不一定要连续）的价值中的最大值。

　　$n\leq 10^5,q\leq 500$

题解

　　我们对于每一次询问分别处理。

　　首先我们考虑动态规划。

　　用 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 个元素中子序列以 颜色 $j$ 结尾的最大价值。

　　首先我们考虑每一个 $i$ 所代表的新球只会更新一个 $dp[i][j]$ ，所以我们可以把 $i$ 这一维省掉。

　　接下来我们考虑第 $i$ 个球的结果可能会从哪些情况继承：

　　1. 当前球为子序列第一个： $b\times v_i$

　　2. 从上一个和他颜色相同的球结尾的子序列继承：$dp[c_i]+a\times v_i$

　　3. 从和他颜色不同的球结尾的最大价值子序列继承：$dp[x]+b\times v_i$

　　现在最棘手的是如何找第 $3$ 种情况中的 $x$ 。

　　做法是：我们记录当前情况下 $dp$ 值最大和次大的颜色。

　　这两个中一定有一个是第三种情况需要的，所以就可以完成第三种情况了。

　　最后然后再拿当前球的结果更新 DP 数组的相应值即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=100005;
const LL INF=1LL<<56;
LL read(){
	int x;
	scanf("%d",&x);
	return 1LL*x;
}
int n,q,c[N];
LL v[N],dp[N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&q);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		v[i]=read();
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&c[i]);
	while (q--){
		LL a=read(),b=read();
		LL ans=0;
		int Max=0,Nxt=0;
		for (int i=0;i<=n;i++)
			dp[i]=-INF;
		for (int i=1;i<=n;i++){
			int color=c[i];
			LL now=max(dp[color]+a*v[i],b*v[i]);
			if (color!=Max)
				now=max(now,dp[Max]+b*v[i]);
			else/* if (color!=Nxt)*/
				now=max(now,dp[Nxt]+b*v[i]);
			if (now>dp[Max]){
				if (Max!=color)
					Nxt=Max,Max=color;
			}
			else if (now>dp[Nxt]&&color!=Max)
				Nxt=color;
			dp[color]=max(dp[color],now);
			ans=max(ans,now);
		}
		printf("%I64d\n",ans);
	}
	return 0;
}