【XSY1519】彩灯节 DP 数学 第二类斯特林数

题目大意

​　　有\(n\)盏灯，\(m\)个限制。每个限制\((x,y)\)表示第\(x\)盏灯与第\(y\)盏灯之间必须且只能亮一盏。

​　　记一种情况\(x\)亮着的灯的数量为\(f_x\)，求\(\sum {(f_x)}^k\)

​　　\(n\leq 200000,k\leq 100\)

题解

​　　我们先把整张图黑白染色。

​　　如果不是二分图就无解。

​　　我们发现两个不同的联通分量的灯的状态是没有关系的。

​　　我们可以考虑DP：

​　　\(f_{i,j}=\)前\(i\)个联通分量中亮的彩灯个数的\(j\)次方和

​　　\(a_{i,j}=\)第\(i\)个联通分量中亮的彩灯个数的\(j\)次方和

​　　根据二项式定理\({(a+b)}^n=\sum_{i=0}^n\binom nia^ib^{n-i}\)有：

\[f_{i,j}=\sum_{k=0}^{j}\binom{j}{k} a_{i-1,k}\times f_{i-1,j-k}
\]

\[=\sum_{k=0}^{j}\frac{j!}{k!(j-k)!}a_{i-1,k}\times f_{i-1,j-k}
\]

\[=j!\sum_{k=0}^{j}\frac{a_{i-1,k}}{k!}\times \frac{f_{i-1,j-k}}{(j-k)!}
\]

​　　观察到\(p=1004535809\)是一个NTT模数（原根为\(3\)），所以可以用NTT加速。

​　　没了

​　　时间复杂度：\(O(nk\log k)\)

题解2

​　　FFT很明显会TLE

​　　有一个公式：

\[m^n=\sum_{k=0}^m\binom{m}{k}S(n,k)k!
\]

​　　后面两个东西很容易算，只用考虑第一个怎么求

​　　这不就是个组合数吗

​　　直接DP就行了。

​　　时间复杂度：\(O(nk)\)

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=1004535809;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			s=s*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
namespace ntt
{
	int N;
	ll w1[500010];
	ll w2[500010];
	int rev[500010];
	void get(int n)
	{
		N=1;
		while(N<n)
			N<<=1;
		int i;
		for(i=2;i<=N;i++)
		{
			w1[i]=fp(3,(p-1)/i);
			w2[i]=fp(w1[i],p-2);
		}
		rev[0]=0;
		for(i=1;i<N;i++)
			rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|(i&1?N>>1:0);
	}
	void ntt(ll *a,int t)
	{
		int i,j,k;
		ll u,v,w,wn;
		for(i=0;i<N;i++)
			if(rev[i]<i)
				swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(i=2;i<=N;i<<=1)
		{
			wn=t?w1[i]:w2[i];
			for(j=0;j<N;j+=i)
			{
				w=1;
				for(k=j;k<j+i/2;k++)
				{
					u=a[k];
					v=a[k+i/2]*w%p;
					a[k]=(u+v)%p;
					a[k+i/2]=(u-v+p)%p;
					w=w*wn%p;
				}
			}
		}
		if(!t)
		{
			ll inv=fp(N,p-2);
			for(i=0;i<N;i++)
				a[i]=a[i]*inv%p;
		}
	}
}
struct list
{
	int v[500010];
	int t[500010];
	int h[200010];
	int n;
	list()
	{
		n=0;
		memset(h,0,sizeof h);
	}
	void add(int x,int y)
	{
		n++;
		v[n]=y;
		t[n]=h[x];
		h[x]=n;
	}
};
list l;
int vis[200010];
void failed()
{
	putchar('0');
	exit(0);
}
int s1,s2;
void dfs(int x,int fa,int v)
{
	vis[x]=v;
	if(v)
		s1++;
	else
		s2++;
	int i;
	for(i=l.h[x];i;i=l.t[i])
		if(l.v[i]!=fa)
		{
			if(vis[l.v[i]]==-1)
				dfs(l.v[i],x,v^1);
			else if(vis[l.v[i]]==vis[x])
				failed();
		}
}
ll f[500010];
ll a[500010];
int n,m,k;
ll fac[500010];
int main()
{
	freopen("bulb.in","r",stdin);
	freopen("bulb.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	ntt::get(2*(k+1));
	int i,j,x,y;
	fac[0]=1;
	for(i=1;i<=1000;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		l.add(x,y);
		l.add(y,x);
	}
	memset(vis,-1,sizeof vis);
	f[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(vis[i]==-1)
		{
			s1=s2=0;
			dfs(i,0,1);
			for(j=0;j<=k;j++)
				a[j]=(fp(s1,j)+fp(s2,j))%p;
			for(j=k+1;j<ntt::N;j++)
				a[j]=f[j]=0;
			for(j=0;j<ntt::N;j++)
			{
				ll inv=fp(fac[j],p-2);
				a[j]=a[j]*inv%p;
				f[j]=f[j]*inv%p;
			}
			ntt::ntt(a,1);
			ntt::ntt(f,1);
			for(j=0;j<ntt::N;j++)
				f[j]=f[j]*a[j]%p;
			ntt::ntt(f,0);
			for(j=0;j<=k;j++)
				f[j]=f[j]*fac[j]%p;
			// do something here ...
		}
	printf("%lld\n",f[k]);
	return 0;
}

代码2

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
ll p=1004535809;
ll fp(ll a,ll b)
{
	ll s=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			s=s*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return s;
}
struct list
{
	int v[500010];
	int t[500010];
	int h[200010];
	int n;
	list()
	{
		n=0;
		memset(h,0,sizeof h);
	}
	void add(int x,int y)
	{
		n++;
		v[n]=y;
		t[n]=h[x];
		h[x]=n;
	}
};
list l;
int vis[200010];
void failed()
{
	putchar('0');
	exit(0);
}
int s1,s2;
void dfs(int x,int fa,int v)
{
	vis[x]=v;
	if(v)
		s1++;
	else
		s2++;
	int i;
	for(i=l.h[x];i;i=l.t[i])
		if(l.v[i]!=fa)
		{
			if(vis[l.v[i]]==-1)
				dfs(l.v[i],x,v^1);
			else if(vis[l.v[i]]==vis[x])
				failed();
		}
}
int n,m,k;
ll fac[500010];
ll f[510];
ll f2[510];
ll f1[510];
void dp1()
{
	int i;
	for(i=k;i>=1;i--)
		f1[i]=(f1[i]+f1[i-1])%p;
}
void dp2()
{
	int i;
	for(i=k;i>=1;i--)
		f2[i]=(f2[i]+f2[i-1])%p;
}
ll s[510][510];
int main()
{
//	freopen("bulb.in","r",stdin);
//	freopen("bulb4.out","w",stdout);
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	int i,j,x,y;
	fac[0]=1;
	for(i=1;i<=1000;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%p;
	s[0][0]=1;
	for(i=1;i<=100;i++)
	{
		s[i][0]=0;
		for(j=1;j<=100;j++)
			s[i][j]=(s[i-1][j-1]+s[i-1][j]*j%p)%p;
	}
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		l.add(x,y);
		l.add(y,x);
	}
	memset(vis,-1,sizeof vis);
	f[0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++)
		if(vis[i]==-1)
		{
			s1=s2=0;
			dfs(i,0,1);
			for(j=0;j<=k;j++)
				f1[j]=f2[j]=f[j];
			for(j=1;j<=s1;j++)
				dp1();
			for(j=1;j<=s2;j++)
				dp2();
			for(j=0;j<=k;j++)
				f[j]=(f1[j]+f2[j])%p;
		}
	ll ans=0;
	for(i=0;i<=k;i++)
		ans=(ans+f[i]*s[k][i]%p*fac[i]%p)%p;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}