[LOJ#6039].「雅礼集训 2017 Day5」珠宝[决策单调性]

题意

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分析

• 注意到本题的 \(C\) 很小，考虑定义一个和 \(C\) 有关的状态。
• 记 \(f(x,j)\) 表示考虑到了价格为 \(x\) 的物品，一共花费了 \(j\) 元的最大收益。将价格为 \(x\) 的物品按照收益从大到小排序，记这个数组为 \(w\) ，不难发现我们选择的一定是 \(w\) 的一段前缀的形式。
• 将所有的 \(j\) 按照模 \(x\) 的余数分类，容易得到： \(f(x,i)=\max\limits_{j\%x=i\%x}\{f(x-1,j)+w(\frac{i-j}{x})\}\)
• 同类的位置决策单调，原因是 \(w\) 是一个关于两个位置的上凸的二元函数。证明仍然考虑假设决策不单调，\(a<b<c<d\)，就可以得到 \(s(c-a)-s(c-b)<s(d-a)-s(d-b)\) ，在平面直角坐标系中体现为两端 \(x\) 差相同的区间，靠后的区间 \(y\) 的差较小，容易证明假设不成立。

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