[LOJ#6039].「雅礼集训 2017 Day5」珠宝[决策单调性]
题意
分析
- 注意到本题的 \(C\) 很小,考虑定义一个和 \(C\) 有关的状态。
- 记 \(f(x,j)\) 表示考虑到了价格为 \(x\) 的物品,一共花费了 \(j\) 元的最大收益。将价格为 \(x\) 的物品按照收益从大到小排序,记这个数组为 \(w\) ,不难发现我们选择的一定是 \(w\) 的一段前缀的形式。
- 将所有的 \(j\) 按照模 \(x\) 的余数分类,容易得到: \(f(x,i)=\max\limits_{j\%x=i\%x}\{f(x-1,j)+w(\frac{i-j}{x})\}\)
- 同类的位置决策单调,原因是 \(w\) 是一个关于两个位置的上凸的二元函数。证明仍然考虑假设决策不单调,\(a<b<c<d\),就可以得到 \(s(c-a)-s(c-b)<s(d-a)-s(d-b)\) ,在平面直角坐标系中体现为两端 \(x\) 差相同的区间,靠后的区间 \(y\) 的差较小,容易证明假设不成立。
代码
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