1626:【例 2】Hankson 的趣味题

题目描述

  Hanks 博士是BT (Bio-Tech,生物技术) 领域的知名专家,他的儿子名叫Hankson。现在,刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。今天在课堂上,老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识,他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”,这个问题是这样的:已知正整数a0,a1,b0,b1,设某未知正整数x 满足:
1、x 和a0 的最大公约数是a1;
2、x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后,他发现这样的x 并不唯一,甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

  输入文件名为 son.in。第一行为一个正整数n,表示有n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据,为四个正整数a0,a1,b0,b1,每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0 能被a1 整除,b1 能被b0 整除。

输出格式

  输出文件 son.out 共n 行。每组输入数据的输出结果占一行,为一个整数。对于每组数据:若不存在这样的 x,请输出0;若存在这样的 x,请输出满足条件的x 的个数;

样例数据 1

输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

输出

6
2

「说明」第一组输入数据,x 可以是9、18、36、72、144、288,共有6 个。第二组输入数据,x 可以是48、1776,共有2 个。

备注

「数据范围」
对于 50%的数据,保证有1≤a0,a1,b0,b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据,保证有1≤a0,a1,b0,b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

sol:有一种能得90pts的优秀暴力,i 从1~sqrt(n)枚举,判断 i 和 b1/i 是否可行 (非常好打)

/*
原式 b0*x/gcd(b0,x) = b1
-->b0*x = gcd(b0,x)*b1
-->b0*x/b1 = gcd(b0,x)
-->gcd(b0,x) = b0*x/b1
-->gcd(b1/x,b1/b0) = 1
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
ll s=;
bool f=;
char ch=' ';
while(!isdigit(ch))
{
f|=(ch=='-'); ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
s=(s<<)+(s<<)+(ch^); ch=getchar();
}
return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
if(x<)
{
putchar('-'); x=-x;
}
if(x<)
{
putchar(x+''); return;
}
write(x/);
putchar((x%)+'');
return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
ll a0,a1,b0,b1;
inline ll gcd(ll x,ll y)
{
return (!y)?(x):(gcd(y,x%y));
}
inline int Solve(int x)
{
return ((gcd(a0,x)==a1)&&gcd(b1/x,b1/b0)==)?:;
}
int main()
{
int i,T;
R(T);
while(T--)
{
R(a0); R(a1); R(b0); R(b1);
int ans=;
for(i=;i<=sqrt(b1);i++) if(b1%i==)
{
ans=ans+Solve(i);
if(i*i!=b1) ans+=Solve(b1/i);
}
Wl(ans);
}
return ;
}
/*
input
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
output
6
2
*/

暴力

正解是这样的,暴力枚举b1的质因数:对于一个质因数 k

对于 a0中若有 kc0,a1中有kc1:那么因为gcd(a0,x)=a1,所以c0必须不小于c1,否则无解,如果c0=c1,那么x中k的系数可以是任意一个大于等于c0的数,反正gcd后还是kc0,如果c0>c1,那么x中k的系数必须是c1

对于b0中若有 kc2,b1中有kc3:那么因为lcm(b0,x)=b1,所以c2必须不大于c3,否则无解,如果c2=c3,那么x中k的系数可以是任意一个小于等于c3的数,反正lca后还是kc3,如果c2<c3,那么x中k的系数必须是c3

Ps:想清楚后代码也很简单(关键是要想明白)

/*
原式 b0*x/gcd(b0,x) = b1
-->b0*x = gcd(b0,x)*b1
-->b0*x/b1 = gcd(b0,x)
-->gcd(b0,x) = b0*x/b1
-->gcd(b1/x,b1/b0) = 1 gcd(x,a0)==a1
lcm(x,b0)==b1
//b1一定是x的整倍数,而x一定是a1的整倍数
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
inline ll read()
{
ll s=;
bool f=;
char ch=' ';
while(!isdigit(ch))
{
f|=(ch=='-'); ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
s=(s<<)+(s<<)+(ch^); ch=getchar();
}
return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
if(x<)
{
putchar('-'); x=-x;
}
if(x<)
{
putchar(x+''); return;
}
write(x/);
putchar((x%)+'');
return;
}
#define W(x) write(x),putchar(' ')
#define Wl(x) write(x),putchar('\n')
const int N=;
int a0,a1,b0,b1,ans;
bool Bo[N];
int Prim[N];
inline void Pre_Prime()
{
int i,j;
for(i=;i<=;i++)
{
if(!Bo[i]) Prim[++*Prim]=i;
for(j=;j<=*Prim&&Prim[j]*i<=;j++)
{
Bo[Prim[j]*i]=;
if(i%Prim[j]==) break;
}
}
return;
}
inline void Solve(int x)
{
int c0=,c1=,c2=,c3=;
while(a0%x==){a0/=x; c0++;}
while(a1%x==){a1/=x; c1++;}
while(b0%x==){b0/=x; c2++;}
while(b1%x==){b1/=x; c3++;}
if(c0<c1||c2>c3)
{
ans=;
return;
}
if(c0==c1&&c2==c3)
{
if(c1<=c3) ans*=c3-c1+;
else ans=;
}
else if(c0>c1&&c2<c3&&c1!=c3)
{
ans=;
}
return;
}
int main()
{
// freopen("son9.in","r",stdin);
// freopen("my.out","w",stdout);
int i,T;
Pre_Prime();
R(T);
while(T--)
{
R(a0); R(a1); R(b0); R(b1);
ans=;
for(i=;i<=*Prim&&Prim[i]<b1&&ans;i++)
{
Solve(Prim[i]);
}
if(b1>) Solve(b1);
Wl(ans);
}
return ;
}
/*
input
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
output
6
2 input
2
10 10 10 10
5 1 2 10
output
1
0
*/

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