[P4921] 情侣？给我烧了！

回顾一下错排公式

错排问题：

设n位错排数为D[n]。考虑元素1的位置，设置为k（有n-1中 ）；在考虑元素k的位置，

若为1，则转换为n-2位的错排；否则，视元素k为元素1（不能放在位置1），转换为n-1位的错排。

故 D[n]=(n-1)(D[n-1]+D[n-2]) D[1]=0 D[2]=1

也有公式D[n]=n!/e (e=1-1/1!+1/2!-1/3!+……+(-1)^n*1/n!)

设g(x)为x对情侣都在x排里都错开的方案数。

对于询问的k，其答案=C(n,k)A(n,k)pow(2,k)*g(n-k)

式子从左到右依次表示：

1）在n排中选出k排

2）每对情侣中占某一排排

3）情侣双方的位置互调

4）剩下n-k对情侣都要错开。

然后考虑g(x)的算法。

这是就要联想到错排序列的构造方法。

考虑第一排的情况：

1）俩男（x(x-1)种），考虑他们对应的俩女

a）这俩女在同一排（(x-1)2种方案），此时转化为g(x-2)。

b）这俩女不在同一排， 就把她们当做一对情侣，转化为g(x-1)

2）俩女，与俩男同

3）左男右女，仔细想想是与俩男还是一样的。

4）左女右男，仔细想想是与俩男还还是一样的。

故转移为g(x)=(1+1+1+1)(x(x-1)((x-1)2*g(x-2)+g(x-1)))=4x(x-1)(2(x-1)g(x-2)+g(x-1))

显然g(1)=0, g(2)=8 //于是g(0)=1...

时间复杂图 O(Tn)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e3+7;
const int P=998244353;

int fac[N]={1};
int inv[N]={0,1};
int fiv[N]={1};
int g[N]={1};
int b[N]={1};

inline int C(int x,int y) {
	return 1LL*fac[x]*fiv[y]%P*fiv[x-y]%P;
}
inline int A(int x,int y) {
	return 1LL*fac[x]*fiv[x-y]%P;
}
inline int f(int n,int k) {
	return 1LL*C(n,k)%P*A(n,k)%P*b[k]%P*g[n-k]%P;
}

int main() {
	for(int i=1; i<N; ++i) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%P;
	for(int i=2; i<N; ++i) inv[i]=1LL*(P-P/i)*inv[P%i]%P;
	for(int i=1; i<N; ++i) fiv[i]=1LL*inv[i]*fiv[i-1]%P;
	for(int i=2; i<N; ++i) g[i]=4LL*i*(i-1)%P*(2LL*(i-1)*g[i-2]%P+g[i-1])%P;
	for(int i=1; i<N; ++i) b[i]=b[i-1]*2LL%P;
	int T,n;
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		scanf("%d",&n);
		for(int k=0; k<=n; ++k) {
			printf("%d\n",f(n,k));
		}
	}
	return 0;
}