[Poj3128]Leonardo's Notebook

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标签： 置换

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题意

给你一个置换\(B\)，让你判断是否有一个置换\(A\)使得\(B=A^2\)。

题解

置换可以写成循环的形式，所以我们不妨来研究循环平方的特性。

对于一个奇数长度的循环$$(a_1 a_2 a_3 a_4 ...... a_{2n+1})，(a_1 a_2 a_3 a_4 ...... a_{2n+1})(a_1 a_2 a_3 a_4 ...... a_{2n+1})=（a_1 a_3 a_5 ...... a_{2n+1} a_2 a_4 ...... a_{2n}）$$

平方之后仍是一个奇数长度的循环。

而偶数长度的循环平方之后则会分成两个长度相等的循环。

所以本题就很容易解决了。把置换写成循环的形式后，奇数长度的循环可以写成一个奇数长度循环的平方。对于偶数长度的循环只可能是一个偶数长度循环的平方。

我们只需要判断每一个偶数长度的循环的个数是不是偶数就行了。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<set>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<vector>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
#define EREP(i,a) for(int i=start[(a)];i;i=e[i].next)
inline int read()
{
    int sum=0,p=1;char ch=getchar();
    while(!(('0'<=ch && ch<='9') || ch=='-'))ch=getchar();
    if(ch=='-')p=-1,ch=getchar();
    while('0'<=ch && ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=getchar();
    return sum*p;
}

const int maxn=30;

int a[maxn],cnt[maxn];

int vis[maxn];
void init()
{
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(cnt,0,sizeof(cnt));
	char s[maxn];
	cin>>s;
	REP(i,1,26)a[i]=s[i-1]-'A'+1;
}
void doing()
{
	REP(i,1,26)
	{
		if(vis[i])continue;
		int j=a[i],sum=1;
		vis[i]=1;
		while(j!=i)
		{
			vis[j]=1;
			j=a[j];
			sum++;
		}
		cnt[sum]++;
	}
	int flag=1;
	REP(i,1,13)
	{
		if(cnt[i*2] & 1)
		{
			flag = 0;
			break;
		}
	}
	if(flag)cout<<"Yes"<<endl;
	else cout<<"No"<<endl;
}

int main()
{
	int t=read();
	while(t)
	{
		t--;
		init();
		doing();
	}
	return 0;
}