【LA 3641】 Leonardo's Notebook （置换群）

【题意】

　　给出26个大写字母组成 字符串B问是否存在一个置换A使得A^2 = B

【分析】

　　　置换前面已经说了，做了这题之后有了更深的了解。

　　　再说说置换群。

　　   首先是群。

　　

　　置换群的元素是置换，运算时是置换的连接。

　　前面已经说了，每个置换都可以写成互不相交的循环的乘积。

　　　

　　然后分析一下这题。

　　　假设A置换是(a1,a2,a3)(b1,b2,b3,b4)   【这里用循环表示

　　　那么A*A=(a1,a2,a3)(b1,b2,b3,b4)(a1,a2,a3)(b1,b2,b3,b4)

　　　不相交的循环满足交换律，so

　　　A*A=(a1,a2,a3)(a1,a2,a3)(b1,b2,b3,b4)(b1,b2,b3,b4)

　　　满足结合律 A*A=( (a1,a2,a3)(a1,a2,a3)) * ((b1,b2,b3,b4)(b1,b2,b3,b4))

　　(a1,a2,a3)(a1,a2,a3)=(a1,a3,a2)

　　(b1,b2,b3,b4)(b1,b2,b3,b4)=(b1,b3)(b2,b4)

　　分析到这里可以考虑B了，先把B分成若干个不相交的循环，对于长度为n奇循环来说，他可以是两个长度为n的循环乘出来的，也可能是两个长度为2n的循环分裂成的。

　　而对于长度为n偶循环来说，他只能是两个长度为2n的循环分裂成的。所以偶循环必须要长度相等的两两配对。

　　也就是说如果有奇数个长度相同的偶循环，就输出NO，否则一定可以找到一个合法的A。

 #include<cstdio>
 #include<cstdlib>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 using namespace std;
 #define Maxn 30

 int a[Maxn],ans[Maxn];
 bool vis[Maxn];

 char s[Maxn];

 int main()
 {
     int T;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%s",s);
         for(int i=;i<=;i++) a[i+]=s[i]-'A'+;
         memset(vis,,sizeof(vis));
         memset(ans,,sizeof(ans));
         for(int i=;i<=;i++) if(!vis[i])
         {
             int cnt=,x=i;
             while(vis[x]==)
             {
                 cnt++;
                 vis[x]=;
                 x=a[x];
             }
             ans[cnt]++;
         }
         bool ok=;
         for(int i=;i<=;i+=)
         {
             if(ans[i]%==) ok=;
         }
         if(ok) printf("Yes\n");
         else printf("No\n");
     }
     return ;
 }

好机智哦，这样一看也不是很难啦。。

代码也很简单。。

2017-01-11 16:49:20