[CF643E]Bear and Destroying Subtrees(期望，忽略误差)

Description:

​ 给你一棵初始只有根为1的树

​ 两种操作

​ 1 x 表示加入一个新点以 x为父亲

​ 2 x 表示以 x 为根的子树期望最深深度

​ 每条边都有 \(\frac{1}{2}\) 的概率断裂。

Solution:

\[E(\max\{A\}) \not=\max\{E(A)\}
\]

​ 所以一般会从定义出发，设 \(dp[x][i]\) 表示以 \(x\) 为根，深度为 \(i\) 的概率。

​ 然后不好确定这个深度是在哪取到，所以可以设 \(dp[x][i]\) 为深度 \(\le i\) 的概率，不难发现这样每个子树就是独立的了。

\[dp[x][i] = \prod_{v\in son(x)}\frac{dp[x][i - 1] + 1}{2}
\]

​ 加1是因为 \((x, v)\) 这条边可能会断，那么如果断了，那么 \(dep\le i - 1\) 的概率一定是1。

​ 深度较大时期望值很小(它的缩减率是指数级的), 因为允许精度误差所以可以忽略. 加入每个点时把上面 50 个祖先的 \(dp\) 值更新一下即可。

Summary:

​ 在难以刻画细小的状态时可以将状态设广范些，但要保证前后可以互相转换。

Code:

#include <vector>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cassert>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;

#define fir first
#define sec second
#define SZ(x) ((int)x.size())
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define MP(x, y) std::make_pair(x, y)
#define PB(x) push_back(x)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define GO cerr << "GO" << endl;
#define DE(x) cerr << x << endl;
#define rep(i, a, b) for (register int i = (a), i##_end_ = (b); (i) <= i##_end_; ++ (i))
#define drep(i, a, b) for (register int i = (a), i##_end_ = (b); (i) >= i##_end_; -- (i))
#define REP(i, a, b) for (register int i = (a), i##_end_ = (b); (i) < i##_end_; ++ (i))

inline int read() {
    register int x = 0; register int f = 1; register char c;
    while (!isdigit(c = getchar())) if (c == '-') f = -1;
    while (x = (x << 1) + (x << 3) + (c xor 48), isdigit(c = getchar()));
    return x * f;
}

template<class T> inline void write(T x) {
    static char stk[30]; static int top = 0;
    if (x < 0) { x = -x, putchar('-'); }
    while (stk[++top] = x % 10 xor 48, x /= 10, x);
    while (putchar(stk[top--]), top);
}

template<typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return a > b ? a = b, 1 : 0; }
template<typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }

using namespace std;

const int maxN = 5e5 + 1;
const int D = 50;

int Q, fa[maxN], ncnt;
double dp[maxN][D];

void clear(int x, int son, int cnt)
{
	if (!x || cnt >= D) return;
	clear(fa[x], x, cnt + 1);
	for (int i = 1; i < D; ++i)
		dp[x][i] /= 0.5 * (dp[son][i - 1] + 1);
}

void update(int x, int son, int cnt)
{
	if (!x || cnt >= D) return;
	for (int i = 1; i < D; ++i)
		dp[x][i] *= 0.5 * (dp[son][i - 1] + 1);
	update(fa[x], x, cnt + 1);
}

double ask(int x)
{
	double ans(0);
	for (int i = 1; i < D; ++i)
		ans += (double) i * (dp[x][i] - dp[x][i - 1]);
	return ans;
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("xhc.in", "r", stdin);
    freopen("xhc.out", "w", stdout);
#endif
	Q = read();
	ncnt = 1;
	fa[1] = 0;
	fill(dp[1], dp[1] + D, 1);
	while (Q--)
	{
		int op = read(), x = read();
		if (op == 1)
		{
			fa[++ncnt] = x;
			clear(fa[x], x, 1);
			fill(dp[ncnt], dp[ncnt] + D, 1);
			dp[x][0] *= 0.5;
			update(x, ncnt, 0);
		} else
		{
			printf("%.7lf\n", ask(x));
		}
	}
    return 0;
}