Codeforces 1197E Culture Code DP

题意：你有n个俄罗斯套娃,已知每个套娃的容积和体积，问有多少个子集满足以下条件：

1：这个子集是一个极大子集，即不能再添加其它的套娃到这个子集里。

2：子集的套娃之间的间隙和最小。

思路1：线段树优化DP：

首先把套娃按照容积为第一优先级，体积为第二优先级，从小到大排序。设ans[i].second为第i个套娃在最外层，间隙最小的极大子集的数目，ans[i].first为最小的间隙，我们来执行转移：假设第i个套娃的体积是r，容积比r大的第一个套娃的容积是l1, 体积是r1, 那么容易发现，所有容积在[l1, r1 - 1]范围内的套娃都可能由当前状态转移。我们可以通过线段树的特殊标记来执行转移，我在线段树维护了3个标记：容积，最小间隙，数目。在更新懒标记时，判断下放的最小间隙 - 容积是否比当前的小即可。这样通过线段树的单点查询就可以得到对应的DP状态。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define pLL pair<LL, LL>
#define pii pair<int, int>
#define ls (o << 1)
#define rs (o << 1 | 1)
using namespace std;
const int maxn = 200010;
const LL mod = 1000000007;
pii a[maxn];
int val[maxn];
struct Seg {
	pLL lz;
	int pos;
};
Seg tr[maxn * 4];
pLL ans[maxn];
bool v[maxn];
void maintain(int o, pLL tmp, int p) {
	if(tmp.first - p < tr[o].lz.first - tr[o].pos) {
		tr[o].lz = tmp, tr[o].pos = p;
	} else if(tmp.first - p == tr[o].lz.first - tr[o].pos) {
		tr[o].lz.second = (tr[o].lz.second + tmp.second) % mod;
	}
}
void pushdown(int o) {
	if(tr[o].lz.second != 0) {
		maintain(ls, tr[o].lz, tr[o].pos);
		maintain(rs, tr[o].lz, tr[o].pos);
		tr[o].lz = make_pair(1e18, 0ll);
		tr[o].pos = 0;
	}
}
void build(int o, int l, int r) {
	if(l == r) {
		if(val[l]) {
			tr[o].lz = make_pair(0, val[l]);
			tr[o].pos = 0;
		} else {
			tr[o].lz = make_pair(1e18, 0);
			tr[o].pos = 0;
		}
		return;
	}
	tr[o].lz = make_pair(1e18, 0);
	tr[o].pos = 0;
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(ls, l, mid);
	build(rs, mid + 1, r);
}
pLL query(int o, int l, int r, int p) {
	if(l == r) {
		ans[l] = make_pair(tr[o].lz.first + a[l].first - tr[o].pos, tr[o].lz.second);
		return ans[l];
	}
	pushdown(o);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(p <= mid) return query(ls, l, mid, p);
	else return query(rs, mid + 1, r, p);
}
void update(int o, int l, int r, int ql, int qr, int p, pLL tmp) {
	if(l >= ql && r <= qr) {
		maintain(o, tmp, p);
		return;
	}
	pushdown(o);
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(ql <= mid) update(ls, l, mid, ql, qr, p, tmp);
	if(qr > mid) update(rs, mid + 1, r, ql, qr, p, tmp);
}
int main() {
	int n;
	LL mi = 1e18;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d%d", &a[i].second, &a[i].first);
	}
	sort(a + 1, a + 1 + n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(a[i].first >= mi) break;
		val[i] = 1;
		mi = min(mi, (LL)a[i].second);
	}
	build(1, 1, n);
	mi = 1e18;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		pLL tmp = query(1, 1, n, i);
		ans[i] = tmp;
		int pos1 = lower_bound(a + 1, a + 1 + n, make_pair(a[i].second, a[i].second)) - a;
		int pos2 = lower_bound(a + 1, a + 1 + n, make_pair(a[pos1].second, a[pos1].second)) - a - 1;
		if(pos1 <= n)
			update(1, 1, n, pos1, pos2, a[i].second, tmp);
		if(pos1 <= n) {
			v[i] = 1;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(v[i]) continue;
		mi = min(mi, ans[i].first);
	}
	LL res = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(v[i]) continue;
		if(ans[i].first == mi) res = (res + ans[i].second) % mod;
	}
	printf("%lld\n", res);
}

思路2：(来自PinkRabbit)刚才的做法虽然能过，但是对题目的性质发掘的不够完全。我们把思维转变一下：我们不妨看一下有哪些状态可能转移到当前状态，容易发现在排序之后能转移到当前状态的状态是一个前缀，那么我们在转移的时候可以采用2个指针这种做法。那么新的问题来了，怎么知道这些前缀状态中哪些是可以真正转移到当前状态呢？设f[i]为到第i个套娃的最小间隙，ans[i]为最小间隙的数目，a[i]为第i个套娃的体积，b[i]为容积，那么在那些前缀最状态中（假设是状态t)，f[t] - a[t]最小的状态才可以像当前状态转移。所以在两个指针的过程中只需维护f[t] - a[t]的最小值即可，然后执行转移。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int maxn = 200010;
const LL mod = 1000000007;
int a[maxn], b[maxn], p1[maxn], p2[maxn];
LL ans[maxn];
int f[maxn];
bool cmp1(int x, int y) {
	return a[x] < a[y];
}
bool cmp2(int x, int y) {
	return b[x] < b[y];
}
int main() {
	int n, ed = -1;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d%d", &a[i], &b[i]);
		p1[i] = p2[i] = i;
		ed = max(ed, b[i]);
	}
	sort(p1 + 1, p1 + 1 + n, cmp1);
	sort(p2 + 1, p2 + 1 + n, cmp2);
	int pos = 1;
	int mi = 0, sum = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int now = p2[i];
		while(pos <= n && a[p1[pos]] <= b[now]) {
			int t = p1[pos];
			if(f[t] - a[t] < mi) {
				mi = f[t] - a[t];
				sum = ans[t];
			} else if(f[t] - a[t] == mi) {
				sum = (sum + ans[t]) % mod;
			}
			pos++;
		}
		f[now] = b[now] + mi;
		ans[now] = sum;
	}
	LL res = 0;
	mi = 1e9;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(a[i] <= ed) continue;
		if(f[i] < mi) {
			mi = f[i];
			res = ans[i];
		} else if(f[i] == mi) {
			res = (res + ans[i]) % mod;
		}
	}
	printf("%lld\n", res);
}