【LOJ 6695】天气之子

找规律题的典范？

OEIS裸题 考场上让你用 OEIS 吗

题意

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题解

\(n\le 5\)

　　打表

\(n\le 10^5\)

　　发现不能直接求最优解，于是二分答案。

　　验证答案时，先把前 \(2\) 个人放到 \(1,m\) 这两个位置，用一个堆维护每相邻两个位置的差值，每新来一个人时，取出最小的差值，均分成两半，各扔进堆。若取出的差值 \(\le 3\) 就判定答案不可行。

　　然后考虑二分答案的上界 \(R\)，不难发现 \(R\le 3n\)，因为最终一定不可能存在大于 \(3\) 的差值，否则可以减小答案。

　　时间复杂度 \(O(n\log_2 n)\)。

\(n\le 10^{18}\)

　　依然二分答案 \(m\)，考虑优化判定。

　　手算发现，差值最多只有 \(2\log m\) 种，同一种差值可以一起均分。

　　故从大到小递推并累加每种差值的出现次数，若累加到 \(n\) 时扫到的差值 \(\le 1\) 就判定答案不可行。

　　需要用一个堆维护已经出现的差值，每次取最大值。

　　时间复杂度 \(O(\log_2^3 n)\)。

\(n\le 10^{1000}\)

　　以下是找规律题解，但做法可能和 loj 的题解不太一样，是 scb 大神犇猜的？（小声bb）

　　我们发现把输入和输出交换一下，这似乎就是个简单 \(\text{dp}\) 题：设 \(f(i)\) 表示座位数为 \(i\)，且第一个人坐在中间时最多能不相邻地坐下多少人，则有 $$f(i)=f(\lfloor \frac{i-3}{2}\rfloor)+f(i-3-\lfloor \frac{i-3}{2}\rfloor)+1$$

　　即选取最中间的一个座位，那么它相邻的两个座位不能用了，剩下 \(i-3\) 个座位被平分成两半，每一半为一个后继状态。

　　然后有 $$ans=f(i-4)+2$$

　　即上面的 \(\text{dp}\) 转移是每次在一段座位的最中间放一个人，我们最后还要在两端放上一开始的两个人。

　　题目是输入 \(ans\)，输出 \(i\)。于是设 \(g\) 是 \(f\) 的逆函数，因为 \(ans-2=f(i-4)\)，所以 \(g(ans-2)=i-4\)，即 \(g(ans-2)+4=i\)。

　　考虑如何快速求 \(g(n)\)（\(n\in N+\)）。

　　把 \(g\) 函数打个表，好像没规律。

　　但是把 \(g\) 函数的每相邻两项的差分值打个表，发现差分值依次为 $$1,3,1,5,1,1,1,9,1,1,1,1,1,1,1,17,1,1,\cdots$$

　　我们发现这个序列就是在全 \(1\) 的序列上 把第 \(2^1\) 位加 \(2^1\)，把第 \(2^2\) 位加 \(2^2\)，把第 \(2^3\) 位加 \(2^3\)……

　　由于这是 \(g\) 的差分序列，前 \(n\) 项的和就是 \(g(n)\)。

　　观察和的规律。第 \(1\) 个数为 \(2^0\)，第 \(2-3\) 个数的和为 \(2^2\)，第 \(4-7\) 个数的和为 \(2^3\)，第 \(8-15\) 个数的和为 \(2^4\)……

　　下标和数值都呈 \(2\) 的指数级增长。

　　若把和看成一个二进制数，这个数不会超过 \(\log_2{10^{1000}}≈3000\) 位。

　　由于最后一段是不完整的，我们单提出最后一段求和，再对前面 \(\log_2\) 个整段求和。

　　求最后一段前 \(k\) 个数的和：发现该段第一个数就是上一段的总和 \(+1\)，后面的数全是 \(1\)，故递推时算一下当前扫到的段的和，从上一段的和加上 \(k\) 个 \(1\) 就是最后一段前 \(k\) 个数的和。然后计算 \(k\) 需要做一次高精度减法，上一段的和加 \(k\) 又需要做一次高精度加法，故时间复杂度是 \(O(3000)\)。

　　求前面所有完整段的和：设总共有 \(k\) 段，则答案为 \(2^0+2^2+2^3+\cdots +2^k = 2^{k+1} - 1 - 2^1 = 2^{k+1} - 3\)。只需要做一次高精度减法，时间复杂度也是 \(O(3000)\)。

　　最后要把 \(3000\) 位二进制数转十进制，这个就是从高到低每扫过一个二进制位时，把十进制数 \(\times 2\)，若这个二进制位为 \(1\) 则十进制数还要 \(+1\)。

　　只有最后的进制转化的时间复杂度最高，是 \(O(\log_2^2 n) ≈ 9\times 10^6\)。这部分据说可以 \(\text{FFT}\) 优化？不会，告辞。

　　所以这都是经典数学问题嘛？规律这么神奇的