BZOJ 3884 上帝与集合的正确用法

Description

根据一些书上的记载，上帝的一次失败的创世经历是这样的：

第一天， 上帝创造了一个世界的基本元素，称做“元”。

第二天， 上帝创造了一个新的元素，称作“\(\alpha\)”。“\(\alpha\)被定义为“元”构成的集合。容易发现，一共有两种不同的“\(\alpha\)”。

第三天， 上帝又创造了一个新的元素，称作“\(\beta\)”。“\(\beta\)”被定义为“\(\alpha\)”构成的集合。容易发现，一共有四种不同的“\(\beta\)”。

第四天， 上帝创造了新的元素“\(\gamma\)”，“\(\gamma\)”被定义为“\(\beta\)”的集合。显然，一共会有\(16\)种不同的“\(\gamma\)”。

如果按照这样下去，上帝创造的第四种元素将会有65536种，第五种元素将会有\(2^{65536}\)种。这将会是一个天文数字。

然而，上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来，因此，日复一日，年复一年，他重复地创造着新的元素……

然而不久，当上帝创造出最后一种元素“\(\theta\)”时，他发现这世界的元素实在是太多了，以致于世界的容量不足，无法承受。因此在这一天，上帝毁灭了世界。

至今，上帝仍记得那次失败的创世经历，现在他想问问你，他最后一次创造的元素“\(\theta\)”一共有多少种？

上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来，因此你只需要回答这个数对\(p\)取模后的值即可。

你可以认为上帝从“\(\alpha\)”到“\(\theta\)”一共创造了\(10^{9}\)次元素，或\(10^{18}\)次，或者干脆\(\infty\)次。

一句话题意：

Input

接下来\(T\)行，每行一个正整数\(p\)，代表你需要取模的值

Output

\(T\)行，每行一个正整数，为答案对\(p\)取模后的值

Sample Input

3

2

3

6

Sample Output

0

1

4

HINT

对于\(100\%\)的数据，\(T \le 1000,p \le 10^{7}\)

对于此题一个重要的定理：

当\(b \ge \phi(c)\)

\[a^{b} \equiv a^{b \; mod \; \phi(c)+\phi(c)}(mod \; c)
\]

因为指数为无限项，恒有\(b \ge \phi(c)\)，所以根据这个定理，我们就可以做题了。

令

\[f(c)=2^{2^{2^{2^{...}}}} mod \; c
\]

则有

\[f(c)=2^{2^{2^{2^{...}}} \; mod \; \phi(c) + \phi(c)}\; mod \; c=2^{f(\phi(c))+\phi(c)}
\]

递归边界：

\[f(1)=0
\]

所以这题就可以做了。

～～我深深感觉到了自己数学的弱菜，只知道定理却不会用。恶补数学ing～～

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<map>
using namespace std;

typedef long long ll;
map <int,int> M;

inline ll qsm(ll a,ll b,ll c)
{
	ll ret = 1;
	for (;b;b >>= 1,(a *= a)%=c)
		if (b & 1) (ret *= a)%=c;
	return ret;
}

inline ll phi(ll n)
{
	ll ret = n;
	for (ll i = 2;i*i <= n;++i)
	{
		if (n % i == 0)
		{
			while (n % i == 0) n /= i;
			ret /= i; ret *= i-1;
		}
	}
	if (n > 1) ret /= n,ret *= n-1;
	return ret;
}

inline ll calc(ll n)
{
	if (M.count(n)) return M[n];
	ll p = phi(n);
	return M[n] = qsm(2,calc(p)+p,n);
}

int main()
{
	freopen("3884.in","r",stdin);
	freopen("3884.out","w",stdout);
	ll T; scanf("%lld",&T);
	M[1] = 0;
	while (T--)
	{
		ll n; scanf("%lld",&n);
		printf("%lld\n",calc(n));
	}
	fclose(stdin); fclose(stdout);
	return 0;
}