LA 3882 - And Then There Was One(约瑟夫 递归)

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题目大意：

N个数排成一圈，第一次删除m，以后每k个数删除一次，求最后一被删除的数。

如果这题用链表或者数组模拟整个过程的话，时间复杂度都将高达O(nk)，而n<=10000,k<=10000 目测会直接TLE。

那么有没有其他的方法呢?答案是有的。

我们先忽略掉m, 分析一下每k个数删除一次，那就是经典的约瑟夫问题了。

那么，将每个数（1~n）按顺序编号为0~n-1

设第一个删除的数的编号为x，则x= k %n-1 （注意是编号，真正删除的数为编号+1）

那么剩下的n-1个数可以组成一个新的约瑟夫环。

现在的编号是什么呢？显然：（令x+1=y ，就是说y= k%n）

y ,  y+1 , y+2  ...  n-1  , 0 , 1  ... y-2

把y放在第一个的目的是下一次从它开始数数。

重新开始数k个数.

你说重新?嗯。那么就可以这样重新编号：

y             -> 0

y+1            ->1

y+2            ->2

...

...

y-2          -> n-2

现在就变成了n-1个数（编号从0~n-2）的约瑟夫问题了！

假设z是最后n-1个数留下的编号，那么z’是n个人留下的编号，则显然z’=（z+y）% n

如何知道n-1个的解？往下递归就好了嘛，知道n-2即可

所以,有：

ans [1]=0;

ans [n] =(ans[n-1]+k) %n;

（可能有人要问了：上面不是z’=（z+y）% n吗？现在怎么变成 k了?因为y= k%n，模运算）

然后，答案要+1 （编号->数）

那么这一题第一次是m怎么办呢？

也很简单，我们每次都移动K ，有n个数，那么答案就是ans[n]

但是第一次移动的是m，所以后面的移动都有个恒定的差距（k-m）

所以答案为：(ans[n] – (k – m) )% n （注意可能小于0 ，还有最终答案+1）

代码如下：

// LA 3882 - And Then There Was One
// By hr_whisper
#include<cstdio>
const int MAXN=10000+10;
int ans[MAXN];
int main()
{
	int n,k,m;
	while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&m),n||k||m)
	{
		ans[1]=0;
		for(int i=2;i<=n;i++)
			ans[i]=(ans[i-1] + k ) % i;
		ans[n]=( ans[n] -( k-m )  )% n;
		printf("%d\n",	ans[n]<0?ans[n] + n +1: ans[n]+1);
	}
	return 0;
}