4.1.4 Nim

Problem description:

　　有n堆石子，每堆各有ai颗石子。A和B轮流从非空的石子堆中取走至少一颗石子。A先取，取光所有石子的一方获胜。当双方都采用最佳策略时，谁会获胜？

　　1<=n<=100000

　　1<=ai<=10e9

Input:

　　n = 3

　　a={ 1, 2 ,4}

Output:

　　A

这个游戏是称为Nim的经典游戏，该游戏的策略称为了许多游戏的基础。要判断该游戏的胜负，只要用异或运算就好了。

　　a1 ^ a2 ^ ……^ an !=0 -> 必胜态

　　a1 ^ a2 ^ ……^ an  =0-> 必败态

简单证明一下：

　　首先从异或为零的状态取走至少一颗石子，异或就一定会变为非零。因此，可以证实必败态只能转移到必胜态。

　　观察异或的二进制表示最高位的1，选取石子数的二进制表示对应位也为1的某堆石子。只要从中取走使得该位变为0，且其余异或中的1也反转的数量的石子，异或就可以变成零。

若每次最多只能取k个怎么办呢？ ai mod （k+1）;

在尼姆博奕中取完最后一颗糖的人为赢家，而取到最后一颗糖为输家的就是反尼姆博奕。

反尼姆博奕的模型。在尼姆博奕中判断必胜局面的条件是所有堆石子数目相异或不等于0 。  而在反尼姆博奕中判断必胜局面的条件有两点，满足任意一点先手都能取胜，即必胜局面。

1：各堆石子数目异或结果不等于0，且存在有石子数目大于1的石子堆。

2：各堆石子数目异或结果等于0，且所有石子堆数目全部为1。

int N,A[MAX_N];

void solve(){
    int x=;
    for(int i=;i<N;i++)
        x^=A[i];
    if(x!=) puts("Alice");
    else puts("Bob");
}