20191029校内ACM部分题解

20191029校内ACM部分题解

https://codeforces.com/group/32W4q7bPme/contest/257710

B数学

给定一个在\([0,1]\)等概率随机区间的随机变量\(x\),给定\(k\),求下面的式子对998244353取模的值

\(k \le 10^6\)
\[
\lim _{n \rightarrow \infty}\sum_{i = 1}^n(x_i - \bar{x})^k
\]
之后发现这个东西就是在让我们求随机变量\(x\)与他期望的值的\(k\)次方的期望

那么我们转化成下面等价的式子
\[
E((x - E(x))^k)
\]
首先.我们把里面的式子二项式展开,再根据期望的线性性可以转化成下面的式子
\[
\sum_{i = 0}^k(-1)^{k - i}\binom{k}{i}E(x^i)(\cfrac{1}{2})^{k - i}
\]
现在发现我们只需要求出\(E(x^i)\)的期望就好了

现在想一下,如何求\(E(x^i)\)

我们再次考虑期望的本质再把式子给转化回去
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i = 1}^n\frac{1}{n}f(x)^k
\]
也就是说,我们现在要求\(x_i^k\)的平均值

对应到函数上就是我们有一个形如\(f(x)= x^k\),\(x\in[0,1]\)的函数,要求这个函数随机取值的高度的平均值

我们考虑求出面积之后除以底即可,如何求出这个图像的面积呢？

肯定要积分
\[
\int^1_0 f(x) d x= f'(1) - f'(0) = \frac{1}{k + 1}
\]
那么求出面积之后,除以底即可。为什么这样可以,可以用物理求平均速度的方法去解释

那么我们也就是说明了
\[
E(x^i) = \frac{1}{k + 1}
\]

直接带回原来式子求解即可

C

题目大意:给定一棵带点权为正的有根树,多组询问,每组给定一个\(k\),求选择\(k\)条从根开始的链,最大化\(k\)条路径的并集的点权和

首先,如果不是点权并集，我们可以直接贪心选,

但是并集就相当于用过了的点就没有贡献了,所以上面的做法可以肯定是错的

那么我们通过贪心的想可以发现下面一些有趣的事情

每次选择的路径终点一定是叶子

一个点如果被选择,他权值和最大的儿子一定被选择(权值和定义为子树内点权最长链),换句话说,一个点一定和权重最大的儿子一起被选择

那么对于一个点,我们就可以把他的权重和他最大的儿子绑在一起,最后就会形成若干条长链,如下

同一颜色是同一长链,那么我们求出若干条长链的权值,排序取前\(k\)大即可

D

写这个题,主要是给自己科普一下物理知识/cy

二分答案的做法异常明显,就不说了

首先我们一个球肯定是到离他距离最近的洞

设第\(i\)个球里最近的洞的距离为\(d_i\)

设最终进洞时间为\(t\)我们发现有
\[
E_i = \frac{d_i^2\times m_i}{2\times t^2}
\]
所以得到
\[
\sum_{i = 1}^n \frac{d_i^2 \times m_i}{2\times t^2} = E_k
\]
解方程即可得到\(t\)