Wannafly Winter Camp 2020 Day 5F Inversion Pairs - 拉格朗日插值,dp

给定 \(n \leq 10^7\)，求所有 \(n\) 的全排列的逆序对个数的 \(k \leq 100\) 次方和

Solution

\(f[i][j]\) 表示 \(i\) 个元素，逆序对个数为 \(j\) 的全排列个数，则

\[f[i][j]=\sum_{s=0}^{i-1} f[i-1][j-s]
\]

设 \(g[i]\) 为 \(n=i\) 的答案，那么

\[g[i]=\sum_{j=0}^\frac{i(i-1)}{2} f[i][j]\cdot j^k
\]

暴力计算则复杂度 \(O(n^3)\)

然而我们发现 \(g[i]/{i!}\) 是一个 \(2k\) 次多项式，于是我们计算出前 \(2k\) 项然后拉格朗日插值即可

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
const int N = 205;
const int mod = 1e9+7;

int qpow(int a,int x) {
    int ret=1,nww=a;
    while(x) {
        if(x&1)ret=ret*nww%mod;
        nww=nww*nww%mod;
        x>>=1;
    }
    return ret;
}
int inv(int x) {
    return qpow(x,mod-2);
}
int frac(int x) {
    int ans=1;
    for(int i=2;i<=x;i++) {
        ans*=i; ans%=mod;
    }
    return ans;
}

namespace lag {
int n,k,x[N],y[N],ans,s1,s2;
int solve(int _k) {
    k=_k;
    ans=0;
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        s1=y[i]%mod;
        s2=1;
        for(int j=1; j<=n; j++) if(i!=j)
            s1=s1*((k-x[j])%mod+mod)%mod,s2=s2*((x[i]-x[j]%mod)%mod+mod)%mod;
        ans+=s1*inv(s2)%mod;
        ans=(ans+mod)%mod;
    }
    return ans;
}
}

int n,k,f[N][N*100],g[N];

signed main() {
    cin>>n>>k;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=min(n,2*k);i++) {
        for(int j=0;j<=i*(i-1)/2;j++) {
            for(int s=0;s<=i-1;s++) {
                f[i][j]+=f[i-1][j-s];
                f[i][j]%=mod;
            }
            g[i]+=f[i][j]*qpow(j,k);
            g[i]%=mod;
        }
    }
    if(n<=2*k) cout<<g[n];
    else {
        for(int i=0;i<=2*k;i++) {
            lag::x[i+1]=i;
            lag::y[i+1]=(g[i]*inv(frac(i))%mod);
        }
        lag::n=2*k+1;
        cout<<(lag::solve(n)*frac(n)%mod);
    }
}