题解 UVA10298 【Power Strings】

此题我写的是后缀数组SA解法，如果不会后缀数组的可以跳过本篇blog了。

参考文献：罗穗骞 2009集训队后缀数组论文

前记

最近学后缀数组，肝了不少题，也分出了后缀数组的几个题型，看这题没有后缀数组的解法，于是我决定来水一波。

注：思想正确，代码不一定正确。

分析题意

给定一个字符串 L，已知这个字符串是由某个字符串 S 重复 R 次而得到的，

求 R 的最大值。

其实就是求字符串L的连续重复子串。连续重复子串就是后缀数组的一个题型。

算法分析

1、我们需要最大的R，就说明我们需要连续重复子串的子串长度最小，那我们就可以首先枚举子串的长度k。

2、如何判断枚举出的子串是否符合题意，为L的连续重复子串。相信学过后缀数组的大家一定知道如何求最长公共前缀，我在这里简要提一下。

最长公共前缀

定义&&性质

一、

Suf(i)为字符串S的从i位开始的后缀。

例：S="LAHAKIOI"

Suf(0)="LAHAKIOI".Suf(4)="AKIOI".（字符串从0开始）

二、

height[i]为Suf(SA[i])和Suf(SA[i-1])的最长公共前缀

三、

h[i]=height[rank[i]]，也就是 Suf(i)和在它前一名的后缀的最长公共前

缀。

h数组有以下性质：

h[i]≥h[i-1]-1

具体证明这里不给出，如果有需要可以看我blog里的后缀数组全讲。

四、

Suf(j)和Suf(k)的最长公共前缀为（height[rank[j]+1],height[rank[j]+2],height[rank[j]+3],……,height[rank[k]]）的最小值。

具体证明依然不给出，有需要可以看我的blog。

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正所谓我们使用后缀数组求出了SA数组和Rank数组，我们想要求最长公共前缀，就要高效求出height数组。

求height数组，我们可以根据h数组的性质(三)，对于每一个后缀和他上一个的字符串，我们不需要从头开始寻找他们的最长公共前缀，这样时间复杂度高达O(n^2)，我们可以直接从h[i-1]-1处开始判断，因为根据h数组的性质，这两个字符串的前h[i-1]-1位一定是相同的。

这样时间复杂度降到O(n).

这里可能大家看的不是很懂，不过代码比较简单，比较容易懂:

void get_height(){		//求height数组
    int k=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(k)k--;       //h数组可以直接用一个计数器代替
        int j=sa[rank[i]-1];
        if(rank[i]-1==-1)continue;  //因为我的排名从0开始，所以排名是0时要特判
        while(s[i+k]==s[j+k])k++;   //从k处找最长公共前缀
        height[rank[i]]=k;          //记录height数组
    }
}

---

那我们求出了最长公共前缀就可以判断长度为k的子串是否满足为连续最长子串。

判断长度为k的子串是否满足为连续最长子串

1、首先，我们要判断字符串长度n是否能整除k，如果不能就显然不行。

2、再看Suf(0)到Suf(k)的最长公共前缀是否为n-k。前面根据性质四，我们可以知道Suf(0)到Suf(k)的最长公共前缀，但每一次的时间都为O(n)，整体下来时间复杂度十分高。

但我们可以看到Suf(0)是固定的，所以我们可以预处理出只需求出 height 数组中的每一个数到height[rank[0]]之间的最小值记为ans数组即可。

全部代码：

#include<string>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#define maxn 300001
using namespace std;
char s[maxn];
int n,sa[maxn],rank[maxn],newRK[maxn],key2[maxn],sum[maxn],height[maxn],k;
int level;
void get_sum(int m){
    for(int i=0;i<=m;i++) sum[i]=0;
    for(int i=0;i<n;i++) sum[rank[i]]++;
    for(int i=0;i<m;i++) sum[i]+=sum[i-1];
}
bool cmp(int x,int y,int L){
    if(rank[x]!=rank[y])return false;
    if((x+L>=n&&y+L<n)||(x+L<n&&y+L>=n))return false;
    if(x+L>=n&& y+L>=n) return true;
    return rank[x+L] == rank[y+L];
}
void get_height(){		//求height数组
    int k=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        if(k)k--;       //h数组可以直接用一个计数器代替
        int j=sa[rank[i]-1];
        if(rank[i]-1==-1)continue;  //因为我的排名从0开始，所以排名是0时要特判
        while(s[i+k]==s[j+k])k++;   //从k处找最长公共前缀
        height[rank[i]]=k;          //记录height数组
    }
}
void Suffix_Sort(){         //SA板子
    for(int i=0;i<n;i++) rank[i]=s[i];
    get_sum(356);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        sa[--sum[rank[i]]]=i;
    int w=1,m=max(n,356);
    while(w<n){
        int p=0;
        for(int i=n-w;i<n;i++)key2[p++]=i; 	//第二关键字越界排前
        for(int i=0;i<n;i++)if(sa[i]>=w)key2[p++]=sa[i]-w;//如果当前长度有第一关键字就记录
        //以上按第二关键字排序
        get_sum(m);
        for(int i=n-1;i>=0;i--){
            int j=key2[i];
            sa[--sum[rank[j]]]=j;
        }
        //以上按第一关键字排序，直接覆盖之前的sa数组，不需要再开一个key1
        newRK[sa[0]]=0;
        level=1;
        for(int i=1;i<n;i++){
            if(cmp(sa[i-1],sa[i],w))
                newRK[sa[i]]=level-1;
            else
                newRK[sa[i]]=level++;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
            rank[i]=newRK[i];
        //以上计算长度2*w的rank数组
        if (level==n)break;
        w<<=1;
    }
}
int main(){
    while(1){
        int ans[maxn];
        memset(sa,0,sizeof(sa));
        memset(height,0,sizeof(height));
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        memset(rank,0,sizeof(rank));
        scanf("%s",s);n=strlen(s);
        if(s[0]=='.')break;
        Suffix_Sort();get_height();
        //下面求ans数组
        int a=rank[0],minx=10000000;
        for(int i=a;i>=1;i--){
            minx=min(minx,height[i]);
            ans[sa[i-1]]=minx;
        }
        minx=10000000;
        for(int i=a+1;i<=n;i++){
            minx=min(minx,height[i]);
            ans[sa[i]]=minx;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(n%i==0){
                if(ans[i]==n-i)
                {
                    printf("%d\n",n/i);
                    break;
                }
            }
        }
    }
}

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