BZOJ5466 NOIP2018保卫王国（倍增+树形dp）

　　暴力dp非常显然，设f[i][0/1]表示i号点不选/选时i子树内的答案，则f[i][0]=Σf[son][1]，f[i][1]=a[i]+Σmin(f[son][0],f[son][1])。

　　注意到B的部分分，可以想到每次修改只会对修改点到根的路径上的点的dp值产生影响。

　　考虑如何优化修改路径这一过程，先看只修改一个点的情况。

　　由于每次修改并非累积，事实上应该考虑一种预处理来快速得到答案，并且发现其实最终我们只需要f[root][]。容易想到倍增。设f[x][k][0/1][0/1]表示x号点为0/1时其2^k级祖先为0/1时这条链上的答案，即其2^k级祖先的子树-x的子树的答案。这个东西本身就是可减的，即知道了在x号点子树内的y点选/不选的情况下x子树的答案、y号点选/不选的情况下y子树的答案，将其相减就是x子树去掉y子树的答案。

　　倍增数组并不难求，显然我们已经有f[x][0][][]，在2^k-1级祖先那里合并得到2^k级的答案，考虑2^k-1级祖先选还是不选取个min即可，大约就是floyd/矩乘。回答询问同样也是类似的很正常的倍增。那么只改一个点就能做了。

　　再考虑改两个点，其实基本类似。两个点倍增求出到他们的lca下方一个点的答案，以此更新lca答案，再从lca倍增跳到根即可。对其中一点是另一点祖先的情况最好特判。听起来不是很复杂但写起来得考虑清楚。

　　另一种做法是ddp，暂时觉得不太学的动，好像也很久没学新姿势了。感觉倍增做法看上去还是比较noip的，虽然考场上被神仙t2和完全没碰过但知道能做这个题的ddp冲昏头脑肯定想不出来。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 100000000000ll
#define N 100010
char getc(){char c=getchar();while ((c<'A'||c>'Z')&&(c<'a'||c>'z')&&(c<''||c>'')) c=getchar();return c;}
int gcd(int n,int m){return m==?n:gcd(m,n%m);}
int read()
{
    int x=,f=;char c=getchar();
    while (c<''||c>'') {if (c=='-') f=-;c=getchar();}
    while (c>=''&&c<='') x=(x<<)+(x<<)+(c^),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,m,a[N],p[N],fa[N][],deep[N],t;
ll f[N][],g[N][][][];
struct data{int to,nxt,len;
}edge[N<<];
struct data2{ll x,y;int id;};
void addedge(int x,int y){t++;edge[t].to=y,edge[t].nxt=p[x],p[x]=t;}
void dfs(int k)
{
    f[k][]=,f[k][]=a[k];
    for (int i=p[k];i;i=edge[i].nxt)
    if (edge[i].to!=fa[k][])
    {
        deep[edge[i].to]=deep[k]+;
        fa[edge[i].to][]=k;
        dfs(edge[i].to);
        f[k][]+=f[edge[i].to][];
        f[k][]+=min(f[edge[i].to][],f[edge[i].to][]);
    }
    for (int i=p[k];i;i=edge[i].nxt)
    if (edge[i].to!=fa[k][])
    {
        g[edge[i].to][][][]=inf;
        g[edge[i].to][][][]=f[k][]-min(f[edge[i].to][],f[edge[i].to][]);
        g[edge[i].to][][][]=f[k][]-f[edge[i].to][];
        g[edge[i].to][][][]=f[k][]-min(f[edge[i].to][],f[edge[i].to][]);
    }
}
void pre()
{
    for (int j=;j<;j++)
    {
        for (int i=;i<=n;i++)
        fa[i][j]=fa[fa[i][j-]][j-];
        for (int i=;i<=n;i++)
            for (int x=;x<;x++)
                for (int y=;y<;y++)
                g[i][j][x][y]=min(g[i][j-][x][]+g[fa[i][j-]][j-][][y],g[i][j-][x][]+g[fa[i][j-]][j-][][y]);
    }
}
int lca(int x,int y)
{
    if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
    for (int j=;~j;j--) if (deep[fa[x][j]]>=deep[y]) x=fa[x][j];
    if (x==y) return x;
    for (int j=;~j;j--) if (fa[x][j]!=fa[y][j]) x=fa[x][j],y=fa[y][j];
    return fa[x][];
}
data2 query(int x,int root,int isup,ll tx,ll ty)
{
    data2 u;u.x=tx,u.y=ty;
    for (int j=;~j;j--)
    if (deep[fa[x][j]]>deep[root])
    {
        tx=u.x,ty=u.y;
        u.x=min(tx+g[x][j][][],ty+g[x][j][][]);
        u.y=min(tx+g[x][j][][],ty+g[x][j][][]);
        x=fa[x][j];
    }
    u.id=x;
    if (isup)
    {
        tx=u.x,ty=u.y;
        u.x=min(tx+g[x][][][],ty+g[x][][][]);
        u.y=min(tx+g[x][][][],ty+g[x][][][]);
    }
    return u;
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("bzoj5466.in","r",stdin);
    freopen("bzoj5466.out","w",stdout);
    const char LL[]="%I64d\n";
#else
    const char LL[]="%lld\n";
#endif
    n=read(),m=read();read();
    for (int i=;i<=n;i++) a[i]=read();
    for (int i=;i<n;i++)
    {
        int x=read(),y=read();
        addedge(x,y),addedge(y,x);
    }
    fa[][]=;dfs();
    pre();
    while (m--)
    {
        int x=read(),opx=read(),y=read(),opy=read();
        if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y),swap(opx,opy);
        if (opx==&&opy==&&fa[x][]==y) {printf("-1\n");continue;}
        int k=lca(x,y);
        if (k==y)
        {
            data2 u=query(x,k,,opx==?f[x][]:inf,opx==?f[x][]:inf);
            ll tx=u.x,ty=u.y;
            u.x=f[k][]+ty-f[u.id][];
            u.y=f[k][]+min(tx,ty)-min(f[u.id][],f[u.id][]);
            if (opy==) u.y=inf;else u.x=inf;
            if (k!=) u=query(k,,,u.x,u.y);
            printf(LL,min(u.x,u.y));
        }
        else
        {
            data2 u=query(x,k,,opx==?f[x][]:inf,opx==?f[x][]:inf);
            data2 v=query(y,k,,opy==?f[y][]:inf,opy==?f[y][]:inf);
            data2 w;
            w.x=f[k][]+u.y-f[u.id][]+v.y-f[v.id][];
            w.y=f[k][]+min(u.x,u.y)-min(f[u.id][],f[u.id][])+min(v.x,v.y)-min(f[v.id][],f[v.id][]);
            w=query(k,,,w.x,w.y);
            printf(LL,min(w.x,w.y));
        }
    }
    return ;
}