OI中的一些数学小技巧

在OI比赛中，如果能够灵活地运用一些数学小技巧，是能够很好地优化计算的时间和正确性的。

既然说了是小技巧，那么这些指的都是一些技巧，一般是不会单独成题的。

本博客或会随着作者的见识而更新

Better的快速幂

有的时候，我们要去求解一个数或者一个矩阵的若干次幂，而这个指数在一般情况下是暴力无法接受的，这个时候我们会想到使用快速幂，即：

\(a^n=\begin{cases}\left(a^2\right)^{\dfrac{n}{2}}&2\mid n\\ a\left(a^2\right)^{\dfrac{n-1}{2}}&2\nmid n\end{cases}\)

这种做法可以做到优秀的 \(O(logn)\) 的复杂度。

但是，如果我们继续提高 \(n\) 的上限，long long存不下了呢？

栗子：Luogu P1397 [NOI2013] 矩阵游戏

这道题目有一个特别和善的数据范围： \(n \leqslant 10^{1000000}\)

似乎要写高精了，如果还是仿照快速幂的方式写，不难发现，由于高精度是按位处理，我们会发现，我们的复杂度会被卡到 \(O(log^2n)\) ，这个复杂度是我们无法接受的。

但我们想想，我们存的高精度是十进制的，如果我们用十进制来做快速幂，会怎么样？

我们考虑这样的形式：

\(a^n=\left(a^{10}\right)^{\left\lfloor\dfrac{n}{10}\right\rfloor}*a^{n \bmod 10}\)

我们只需要先预处理出 \(a^2\) 到 \(a^9\) 即可。

这样，我们规避了高精度除单精的问题，可以将时间优化到 \(O(logn)\) 了。

不难发现，我们平时写的快速幂就是光速幂的一种特殊形式，也就是对于二进制的处理方法

那么，是不是对于任意k进制，都可以用光速幂呢？

其实在形式上都是一样的，就是把上面的 \(10\) 换成 \(k\) 就可以了。

闲话（不知道正不正确，欢迎大佬指正）：那么对于不同的 \(n\) ，最优的 \(k\) 会是多少呢？

由于我们需要进行预处理，首先会有一个 \(k\) 的运算，如果不考虑做除法的时间，后面的运算是 \(log_kn\) 的复杂度

那么它的总复杂度是 \(k+log_kn\) ，这个函数是先减后增的。

我们来找它的极小点，对 \(k\) 求导

\((k+\log_kn)'=(k)'+(\log_kn)'=1+\left(\dfrac{1}{\log_nk}\right)'\)

\(\left(\dfrac{1}{\log_nk}\right)'=-\dfrac{1}{\log_n^2k}*(\log_nk)'=-\dfrac{1}{\log_n^2k}*\log_ne(\ln k)'=-\dfrac{\log_ne}{k\log_n^2k}\)

\((k+\log_kn)'=1-\dfrac{\log_ne}{k\log_n^2k}\)

当导数取 \(0\) 时：\(0=1-\dfrac{\log_ne}{k\log_n^2k}\)

则 \(\dfrac{\log_ne}{k\log_n^2k}=1\)

所以 \(\log_ne=\log_n^2k\)

所以 \(e=k^{\log_nk}\)

\(e^{\ln n}=k^{\ln n\log_nk}\)

\(n=k^{\ln k}\)

对于上面的题目，大概 \(k\) 是在 \(10^5\) 左右

但是这个对于题目的优化似乎只是常数级别的，但一般要光速幂了就不会卡光速幂的常数，除非写的常数很大。

龟速乘

有的题目卡你幂的时间，有的题目却想卡你乘的上界：

Luogu P4774 [NOI2018] 屠龙勇士,P2044 [NOI2012] 随机数生成器

这个题目中虽然都要取模，但是它们的上界的平方会超过long long的上界，如果不用__int128或者高精，也不想写质数判断，我们能不能在舍弃时间的情况下，做到取模乘法呢？

这是可以的。

一般的题目不会卡死long long上界，也就是说，我们是可以对数据乘一个常数的，而且最保险的是 \(2\)

这样就可以得到这样的式子 \(a*b=(a*2)*(b/2)\)

如果我们的 \(b\) 是奇数，就可以给统计答案的数加一个 \(a\) 即可。

这样，我们能够用 \(O(\log n)\) 的复杂度来做到不会溢出的乘法了！

光速乘

虽然但是，其实有比龟速乘更快的方法——\(O(1)\)光速乘。

主要是利用了long double强转成long long时对小数部分的舍弃来完成取模的，代码实现如下

long long mul(long long a,long long b,long long Mod)
{
	return (a*b-(long long)((long double)(a)/Mod*b)*Mod+Mod)%Mod;
}

据说是有概率出错的，但是用了的都说好。