Codeforces 1850H：The Third Letter 带权并查集

1850H.The Third Letter

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Description:

• \(n\) 个人，\(m\) 个条件，每次给出两个人 \(a_i\) 和 \(b_i\) 一维的位置关系，以距离 \(d_i\) 表示，其正负表示方位的前后，判断这 \(m\) 个条件是否矛盾。（不同的人可以在横轴上位于同一点）

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Analysis:

• 将所有的横轴位置抽象为一个点，用带权并查集维护点与点之间的链接关系。
• 对于一般的并查集来说，可以维护集合内的联通关系，进而求解不同集合之间的问题（如计数等）或判断图的联通性。带权并查集主打一个边权的维护（即额外的信息）。
• 路径压缩是 \(DSU\) 的重要一环，相当于建立起每个子节点和根节点的直接关系，这便优化了查找效率，无须从某一节点持续向上递归（一旦树退化成了一条链，岂不是寄了！！）

int find(int x) {
	if(x != fa[x]) fa[x] = find(fa[x]);
	return fa[x];
	// return fa[x] = find(fa[x])
}

• 那带权并查集呢？注意，我们要维护的不是题中所给的 \(d\)，而是要动态维护起每个点到其父节点（在路径压缩下也就是根节点）的 \(w[i]\)，这里就产生了对根节点有影响的两个过程：

1. \(find\)（\(x\)）过程：因路径压缩，节点 \(x\) 原来的 \(fa[x]\) 更新为根节点，那么 \(w[x]\) 记录的子节点到父节点的距离 也要相应更新为到根节点（也就是新的父节点）
2. 合并过程：因集合合并，两个集合各自的根节点变为一个大集合的一个根节点，自然而然，其中一个集合要进行权值的更新。

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Solution:

int fa[maxn];
ll w[maxn];

int find(int x) {
	if(x != fa[x]) {
		// 记录原来的父节点，从而记录原来的父节点 t 到根节点的距离w[t]
		int t = fa[x];
		fa[x] = find(fa[x]);
		w[x] += w[t]; // 路径压缩的权值更新
	}
	return fa[x];
}

void solve() {
	int n,m; cin >> n >> m;
	// 初始化
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		fa[i] = i; // 我是我的父亲
		w[i] = 0;  // 到父节点（目前是自己）的距离
	}
	bool flag = true; // 标记目前是否已经出现矛盾
	while(m--) {
		int u,v; ll d;
		cin >> u >> v >> d;
		if(!flag) continue;

		int fu = find(u);
		int fv = find(v);
		if(fu != fv) {
			fa[fu] = fv;
			w[fu] = d + w[v] - w[u]; //集合合并的权值更新
		}
		else { // fu == fv 说明二者距离可求，与所给的d比较即可
			if(w[u] - w[v] != d) flag = false;
		}
	}
	if(flag) cout << "YES" << endl;
	else cout << "NO" << endl;
}