Plateau-Rayleigh 不稳定性 + Young-Laplace 方程

考虑竖直下落水柱中的 \(AB\) 两点

\[\begin{matrix}
\displaystyle\frac12\rho U_0^2+\rho gz+P_A=\frac12\rho U^2(z)+P_B \\[2ex]
\displaystyle\nabla\cdot n=\frac1{R_1}+\frac1{R_2}\approx\frac1r \\[2.5ex]
\displaystyle P_A\approx P_0+\frac\gamma a,P_B\approx P_0+\frac\gamma r
\end{matrix}
\]

从而有

\[\begin{matrix}
\displaystyle\frac12\rho U_0^2+\rho gz+P_0+\frac\gamma a=\frac12\rho U^2(z)+P_0+\frac\gamma r \\[2ex]
\displaystyle\frac{U(z)}{U_0}=\left[1+\frac2{\textit{Fr}}\frac za+\frac2{\textit{We}}\left(1-\frac ar\right)\right]^{1/2}
\end{matrix}
\]

积分有

\[\begin{matrix}
\displaystyle Q=2\pi\int_0^rU(z)r(z)\mathrm dr=\pi a^2U_0=\pi r^2U(z) \\[2ex]
\displaystyle\frac{r(z)}a=\sqrt\frac{U_0}{U(z)}=\left[1+\frac2{\textit{Fr}}\frac za+\frac2{\textit{We}}\left(1-\frac ar\right)\right]^{-1/4}
\end{matrix}
\]

考虑界面上扰动随时间发展的形式为 \(\widetilde R=R_0+\varepsilon\mathrm e^{\omega t+ikz}\)，\(\omega\) 为不稳定性的增长速率，\(k\) 为扰动的波数。代入 NS 方程

\[\begin{matrix}
\displaystyle\frac{\partial\widetilde u_r}{\partial t}=-\frac1\rho\frac{\partial\widetilde p}{\partial r},\frac{\partial\widetilde u_z}{\partial t}=-\frac1\rho\frac{\partial\widetilde p}{\partial z} \\[2ex]
\displaystyle\frac{\partial\widetilde u_r}{\partial r}+\frac{\widetilde u_r}r+\widetilde u_z=0
\end{matrix}
\]

假定 \(u\) 和 \(p\) 均有一样的形式，则

\[\begin{matrix}
\displaystyle\omega R=-\frac1p\frac{\mathrm dP}{\mathrm dr},\omega z=-\frac{ik}{\rho}P,\frac{\mathrm dR}{\mathrm dr}+\frac Rr+ikZ=0 \\[2ex]
\displaystyle r^2\frac{\mathrm d^2R}{\mathrm dr^2}+r\frac{\mathrm dR}{\mathrm dr}-\left[1+(kr)^2\right]R=0 \\[2ex]
\displaystyle\frac1{R_1}=\frac1{R_0+\varepsilon\mathrm e^{\omega t+ikz}}\approx\frac1{R_0}-\frac{\varepsilon}{R_0^2}\mathrm e^{\omega t+ikz},\frac1{R_2}=\varepsilon k^2\mathrm e^{\omega t+ikz} \\[3ex]
\displaystyle p_0+\widetilde p=\frac\gamma{R_0}-\frac{\varepsilon\gamma}{R_0^2}\left(1-k^2R_0^2\right)\mathrm e^{\omega t+ikz} \\[3ex]
\displaystyle\widetilde p=-\frac{\varepsilon\gamma}{R_0^2}\left(1-k^2R_0^2\right)\mathrm e^{\omega t+ikz}
\end{matrix}
\]

最终可得增长速率与波数之间的关系

\[\omega^2=\frac\gamma{\rho R_0^3}kR_0\frac{I_1(kR_0)}{I_0(kR_0)}\left(1-k^2R_0^2\right)
\]

当 \(kR_0<1\) 时会出现不稳定，总之水柱扰动的波数超过了水柱周长就会不稳定。增长最快的时候发生在 \(kR_0=0.697\)，此时扰动波长 \(\gamma_{\max}\approx9.02R_0\)，特征的断裂时间为 \(t_\text{break}=2.91\sqrt{\dfrac{\rho R_0^3}\gamma}\)。

当垂直水柱撞击平面时，可能会在底部激发驻波场。波长和波速有个方程 \(U=-\omega/k\)，进而

\[U^2=\frac{\omega^2}{k^2}=\frac\gamma{\rho kR_0^2}\frac{I_1(kR_0)}{I_0(kR_0)}\left(1-k^2R_0^2\right)
\]

只要射流速度已知，就可以求解驻波波长。