P1973 [NOI2011] NOI 嘉年华

思路：

先将时间进行离散化，设总时间为 \(cnt\)，然后考虑求出 \(W(l,r)\)，即在时间段 \([l,r]\) 内的所有节目，可以 \(n^2\) 前缀和，也可以 \(n^3\) 暴力。

然后定义 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个时间，一号场地有 \(j\) 个节目时，二号场地最多的节目数量，则状态转移方程为：

\[f_{i,j} = \max\limits_{k=0}^{i-1} \max(f_{k,j} + W(k,i),f_{k,j-W(k,i)})
\]

那么可以得到：

\[ans_0 = \max\limits_{i=0}^n \min(i,f_{cnt,i})
\]

则第一个问的时间复杂度为 \(O(N^3)\)。

然后再看第二个问，需要定义 \(g_{i,j}\) 表示 \(i \sim cnt\) 的时间段，一号场地有 \(j\) 个节目时，二号场地最多的节目数量，则状态转移方程类似：

\[g_{i,j} = \max\limits_{k=i+1}^{cnt} \max(g_{k,j} + W(i,k),g_{k,j-W(i,k)})
\]

然后再定义 \(dp_{l,r}\) 表示若强制选 \([l,r]\) 的全部节目的局部最优解，则可以枚举左边和右边一号场有多少个进行转移：

\[dp_{l,r} = \max\limits_{i=0}^n \max\limits_{j=0}^n \min(i+W(l,r)+j,f_{l,i} + g_{r,j})
\]

那么此时若强制选 \([l,r]\) 的答案，是 \(dp_{l,r}\) 吗？答案很明显，不是。

因为 \(f_{l-1,i}\) 和 \(g_{r+1,j}\) 只保证了 \(1 \sim l-1,r+1 \sim j\) 的局部最优，即可能会有一些活动的一端在 \([l,r]\) 内，但是另一端不在 \([l,r]\) 内，此时选这些节目可能会更优。

于是我们需要枚举一个 \([L,R]\)，使得 \([L,R]\) 包含 \([l,r]\)，故 \([l,r]\) 强制选的答案为：

\[\max_{L=1}^l \max_{R=r}^{cnt} dp_{L,R}
\]

故只要我们求出 \(dp\)，就可以 \(O(N^3)\) 的得到答案。

但是计算 \(dp\) 的时间复杂度为 \(O(N^4)\)，且常数较大，需要优化卡常大师应该能冲过去。

注意到 \(f_{l,i}\) 和 \(g_{r,j}\) 是会随着 \(i/j\) 的增大而不增的。

此时若 \(i\) 不动，则对于 \(j\) 来说， \(i+W(l,r)+j\) 是单增的，\(f_{l,i} + g_{r,j}\) 是单降的，故 \(H(y)=\min(i+W(l,r)+j,f_{l,i} + g_{r,j})\) 是一个单峰的函数，我们需要找到其最大值。

故我们可以对 \(j\) 进行走指针，从 \(yjn\) 开始，若 \(H(j-1)\ge H(j)\)，就可以令 \(j \gets j - 1\)。

这里需要证明一下在 \(i\) 增加时，\(j\) 的单峰函数只会向左平移，因为这样才可以走指针：

在 \(i\) 增加时，\(i+W(l,r)+j\) 也会增加。

而对于 \(f_{l,i}+g_{r,j}\) 不增。

故会峰点左移。

总时间复杂度是 \(O(N^3)\)。

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define Add(x,y) (x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y)
#define lowbit(x) x&(-x)
#define pi pair<ll,ll>
#define pii pair<ll,pair<ll,ll>>
#define iip pair<pair<ll,ll>,ll>
#define ppii pair<pair<ll,ll>,pair<ll,ll>>
#define fi first
#define se second
#define full(l,r,x) for(auto it=l;it!=r;it++) (*it)=x
#define Full(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define open(s1,s2) freopen(s1,"r",stdin),freopen(s2,"w",stdout);
using namespace std;
typedef double db;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
bool Begin;
const int N=205,M=410,INF=1e9;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){
        if(c=='-')
          f=-1;
        c=getchar();
    }
    while(c>='0'&&c<='9'){
        x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
        c=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void write(ll x){
	if(x<0){
		putchar('-');
		x=-x;
	}
	if(x>9)
	  write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
struct Seg{
	int l,r;
	int id;
}A[N];
int n,cnt,Max;
int ans[N],s[N],h[M];
int F[M][N],G[M][N],dp[M][M],W[M][M];
int get(int i,int j,int l,int r){
	return min(i+W[l][r]+j,F[l][i]+G[r][j]);
}
bool End;
int main(){
//	open("A.in","A.out");
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		A[i].l=read(),A[i].r=A[i].l+read();
		A[i].id=i;
		h[++cnt]=A[i].l;
		h[++cnt]=A[i].r;
	}
	sort(h+1,h+cnt+1);
	cnt=unique(h+1,h+cnt+1)-(h+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		A[i].l=lower_bound(h+1,h+cnt+1,A[i].l)-h;
		A[i].r=lower_bound(h+1,h+cnt+1,A[i].r)-h;
	}
	for(int l=1;l<=cnt;l++)
	  for(int r=l;r<=cnt;r++)
	    for(int i=1;i<=n;i++)
	      if(l<=A[i].l&&A[i].r<=r)
	        W[l][r]++;
	for(int i=0;i<=cnt;i++)
	  for(int j=0;j<=n;j++)
	    F[i][j]=-INF;
	F[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=cnt;i++)
	  for(int j=0;j<=n;j++)
		for(int k=0;k<i;k++)
		  F[i][j]=max({F[i][j],F[k][j]+W[k][i],(j>=W[k+1][i])?(F[k][j-W[k][i]]):(-INF)});
	for(int i=1;i<=cnt+1;i++)
	  for(int j=0;j<=n;j++)
	    G[i][j]=-INF;
	G[cnt+1][0]=0;
	for(int i=cnt;i>=1;i--)
	  for(int j=0;j<=n;j++)
		for(int k=i+1;k<=cnt+1;k++)
		  G[i][j]=max({G[i][j],G[k][j]+W[i][k],(j>=W[i+1][k])?(G[k][j-W[i][k]]):(-INF)});
	for(int l=1;l<=cnt;l++){
	    for(int r=l;r<=cnt;r++){
	    	for(int x=0,y=n;x<=n;x++){
	    		while(y&&get(x,y-1,l,r)>=get(x,y,l,r))
	    		  y--;
	    		dp[l][r]=max(dp[l][r],get(x,y,l,r));
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;i++)
	  ans[0]=max(ans[0],min(i,F[cnt][i]));
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  for(int L=1;L<=A[i].l;L++)
		for(int R=A[i].r;R<=cnt;R++)
		  ans[i]=max(ans[i],dp[L][R]);
	for(int i=0;i<=n;i++){
		write(ans[i]);
		putchar('\n');
	}
	cerr<<'\n'<<abs(&Begin-&End)/1048576<<"MB";
	return 0;
}