【BZOJ】【TJOI2015】线性代数

网络流/最小割/最大权闭合图

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　　2333好开心，除了一开始把$500^2$算成25000……导致数组没开够RE了一发，可以算是一次AC~

　　咳咳还是回归正题来说题解吧：

　　一拿到这道题，我就想：这是什么鬼玩意……矩阵乘法早忘了……画了半天也想不起来到底是谁乘谁，只记得有个式子：$c[i][j]=\sum a[i][k]*b[k][j]$

　　好吧没关系，既然画图不行了，我们就先拿这个东西，纯代数来搞！

　　D的表达式，里面那层我们可以写成：$\sum a[i][k]*b[k][j] - c[i][j]$

　　然而a和c都是1*N的矩阵，简化一下，我们得到：$$ \sum a[k]*b[k][j]-c[j]$$

　　所以我们把D的表达式转化一下，发现可以把c[j]提出来：$$ \begin{aligned} D&=\sum_{j=1}^n \big ( \sum_{k=1}^n a[k]*b[k][j]-c[j] \big )*a[j] \\ &=\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a[j]*a[k]*b[k][j]-\sum_{k=1}^n a[j]*c[j] \end{aligned} $$

　　这时我们发现：b[j][k]和c[j]前面分别乘了一或两个0/1变量……感觉像什么……最大权闭合图对不对……同时选了 j 和 k 的话可以得到b[j][k]的收益，但是选 j 得付出c[j]的代价！

　　这时候我们就可以轻松+愉快的进行建图……

好久没写过网络流了，一次写对Dinic还是蛮感动的

 /**************************************************************
     Problem: 3996
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:584 ms
     Memory:29152 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 3996
 #include<queue>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 inline int getint(){
     int r=,v=; char ch=getchar();
     for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch=='-') r=-;
     for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*-''+ch;
     return r*v;
 }
 const int N=,M=,INF=1e9;
 /*******************template********************/
 int n,ans;
 struct edge{int to,v;};
 struct Net{
     edge E[M<<];
     int head[N],next[M<<],cnt;
     void ins(int x,int y,int z){
         E[++cnt]=(edge){y,z}; next[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
     }
     void add(int x,int y,int z){ins(x,y,z); ins(y,x,);}
     int d[N],S,T,cur[N];
     queue<int>Q;
     bool mklevel(){
         memset(d,-,sizeof d);
         d[S]=;
         Q.push(S);
         while(!Q.empty()){
             int x=Q.front(); Q.pop();
             for(int i=head[x];i;i=next[i])
                 if (d[E[i].to]==- && E[i].v){
                     d[E[i].to]=d[x]+;
                     Q.push(E[i].to);
                 }
         }
         return d[T]!=-;
     }
     int dfs(int x,int a){
         if (x==T) return a;
         int flow=;
         for(int &i=cur[x];i && flow<a;i=next[i])
             if (d[E[i].to]==d[x]+ && E[i].v){
                 int f=dfs(E[i].to,min(E[i].v,a-flow));
                 E[i].v-=f;
                 E[i^].v+=f;
                 flow+=f;
             }
         if (!flow) d[x]=-;
         return flow;
     }
     void Dinic(){
         while(mklevel()){
             F(i,S,T) cur[i]=head[i];
             ans-=dfs(S,INF);
         }
     }
     void init(){
         cnt=; ans=;
         n=getint(); S=; T=n*(n+)+;
         int x;
         F(i,,n) F(j,,n){
             x=getint();
             add(i*n+j,T,x);
             add(i,i*n+j,INF);
             add(j,i*n+j,INF);
             ans+=x;
         }
         F(i,,n){
             x=getint();
             add(S,i,x);
         }
         Dinic();
         printf("%d\n",ans);
     }
 }G1;
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("3996.in","r",stdin);
     freopen("3996.out","w",stdout);
 #endif
     G1.init();
     return ;
 }

3996: [TJOI2015]线性代数

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
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Description

给出一个N*N的矩阵B和一个1*N的矩阵C。求出一个1*N的01矩阵A.使得

D=（A*B-C）*A^T最大。其中A^T为A的转置。输出D

Input

第一行输入一个整数N，接下来N行输入B矩阵，第i行第J个数字代表Bij.

接下来一行输入N个整数，代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不超过1000的非负整数。

Output

输出最大的D

Sample Input

3
1 2 1
3 1 0
1 2 3
2 3 7

Sample Output

2

HINT

1<=N<=500

Source

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