【BZOJ】【1044】【HAOI2008】木棍分割

二分/DP

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　　真是一道好题！

　　第一问很简单的二分……

　　第二问一开始我想成贪心了，其实应该是DP的= =

　　然后没有注意……又MLE又TLE的……这题要对DP进行时空两方面的优化！！

　　题解：（by JoeFan）

使用前缀和，令 Sum[i] 为前 i 根木棍的长度和。

　　令 f[i][j] 为前 i 根木棍中切 j 刀，并且满足最长长度不超过 j 的方案数，那么：

　　　　状态转移方程： f[i][j] = Σ f[k][j-1] 　　((1 <= k <= i-1) &&  (Sum[i] - Sum[k] <= Len))　　

　　这样的空间复杂度为 O(nm) ，时间复杂度为 O(n^2 m) 。显然都超出了限制。

　　下面我们考虑 DP 的优化。

　　1) 对于空间的优化。

　　　　这个比较显然，由于当前的 f[][j] 只与 f[][j-1] 有关，所以可以用滚动数组来实现。

　　　　f[i][Now] 代替了 f[i][j] ， f[i][Now^1] 代替了 f[i][j-1] 。为了方便，我们把 f[][Now^1] 叫做 f[][Last] 。

　　　　这样空间复杂度为 O(n) 。满足空间限制。

　　2) 对于时间的优化。

　　　　考虑优化状态转移的过程。

　　　　对于 f[i][Now] ，其实是 f[mink][Last]...f[i-1][Last] 这一段 f[k][Last] 的和，mink 是满足 Sum[i] - Sum[k] <= Len 的最小的 k ，那么，对于从 1 到 n 枚举的 i ，相对应的 mink 也一定是非递减的（因为 Sum[i] 是递增的）。我们记录下 f[1][Last]...f[i-1][Last] 的和 Sumf ，mink 初始设为 1，每次对于 i 将 mink 向后推移，推移的同时将被舍弃的 p 对应的 f[p][Last] 从 Sumf 中减去。那么 f[i][Now] 就是 Sumf 的值。

　　　　这样时间复杂度为 O(nm) 。满足时间限制。

 /**************************************************************
     Problem: 1044
     User: Tunix
     Language: C++
     Result: Accepted
     Time:4152 ms
     Memory:4396 kb
 ****************************************************************/

 //BZOJ 1044
 #include<vector>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<cstdlib>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
 #define pb push_back
 using namespace std;
 inline int getint(){
     int v=,sign=; char ch=getchar();
     while(ch<''||ch>''){ if (ch=='-') sign=-; ch=getchar();}
     while(ch>=''&&ch<=''){ v=v*+ch-''; ch=getchar();}
     return v*sign;
 }
 const int N=1e5+,INF=~0u>>,P=;
 typedef long long LL;
 /******************tamplate*********************/
 int n,m,ans,a[N],f[N][],pos[N],sumf[N][];
 LL s[N];
 bool check(int len){
     int cnt=,sum=;
     F(i,,n){
         if (a[i]>len) return ;
         if (sum+a[i]>len){
             cnt++; sum=a[i];
         }else sum+=a[i];
     }
     return cnt<=m;
 }
 int main(){
 #ifndef ONLINE_JUDGE
     freopen("1044.in","r",stdin);
     freopen("1044.out","w",stdout);
 #endif
     n=getint(); m=getint();
     F(i,,n) {a[i]=getint();s[i]=s[i-]+a[i];}

     int l=,r=s[n],mid;
     while(l<=r){
         mid=l+r>>;
         if (check(mid)) ans=mid,r=mid-;
         else l=mid+;
     }
     printf("%d ",ans);
     F(i,,n) sumf[i][]=;
     int way=;
     F(j,,m+){
         int now=j&;
         sumf[][now]=;
         F(i,,n){
             if (!pos[i])
                 pos[i]=pos[i-]; while(s[i]-s[pos[i]]>ans) pos[i]++;
             f[i][now]=(sumf[i-][now^]-sumf[pos[i]-][now^]+P)%P;
             sumf[i][now]=(sumf[i-][now]+f[i][now])%P;
         }
         way=(way+f[n][now])%P;
     }
     printf("%d\n",way);
     return ;
 }

1044: [HAOI2008]木棍分割

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 2008  Solved: 725
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Description

有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。

Input

输入文件第一行有2个数n,m. 接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.

Output

输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.

Sample Input

3 2
1
1
10

Sample Output

10 2

HINT

两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)

数据范围

n<=50000, 0<=m<=min(n-1,1000).

1<=Li<=1000.

Source

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