Dijkstra算法

由于我之前一直记的迪杰斯特拉的翻译导致我把dijkstra写成了dijstra……所以下文#define dijstra dijkstra

我以后叫她迪杰克斯歘!

Dijskra是用来在有向图或者无向图中寻找任意两个点的最小距离的算法。它相较于spfa不会死掉(spfa死了),但是无法处理带负环的图和求最长路(除非加上一些奇怪的东西,我们这里是新手村不予讨论我不会)

Dijskra的核心思想是先把所有边的边权进行从小到大的排序,再建一个记录起点到各个点的距离的dis数组并初始化其为一个最大值(inf=!0U>>1,或者0x3f3f3f3f什么的,但不要自己觉得很大但是小了。注意,要把到起点的距离dis[start]设为0),每次讨论一个点i遍历所有和它相连的边到的点j,如果起点到i的距离加上边权小于顶点到j的距离,那么更新j的距离。然后再选一个最近的点标记一下vis,再次进行遍历。处理完之后得到dis[end]就是起点到终点的距离了。

至于dijskra的推导和证明,我不会我们在这里不予讨论。还是不懂的话可以搜一搜其他入门帖子(有图的那种)

存图的话,可以用邻接矩阵和前向星。

Dijskra的堆优化

我们发现,每次遍历一个点就需要把所有的边都扫一遍然后进行松弛。这个导致朴素dijskra非常慢。所以我们可以想个法子优化一下。就是——使用小根堆。我们可以发扬C++的伟大之处,用priority_queue和pair进行优化。

讲解一下pair关键字。它在C++的<utility>(发音[juˈtɪlətɪ])头文件中。简单来说就是一个只有两个元素的结构体。加入我们定义了一个pair <int,int>p;的pair,那么我们可以用p.first和p.second来分别调用他的两个元素。pair有什么好处呢?当我们使用sort的时候,它会先根据第一关键字进行排列,当第一关键词相同时再根据第二关键字排列。所以我们用pair存边的时候,用first存边权,用second存编号即可。

make_pair(a,b)关键字可以把a和b弄成一个pair。这在我们要把一个pair放进优先队列时有用。

我们再来看看优先队列的部分。裸的优先队列是大根堆(从大到小),我们需要把它重新定义一下变成小根堆,即:

priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q;

greater操作符就是重载运算符()变成了(>)。less和它相反。它们在头文件<functional>里。记得引用。(似乎algorithm已经包含了)

所以我们就可以轻松得到优化后的代码~

typedef pair<int,int> pii;
int dis[maxn];
bool vis[maxn];
inline void dijkstra(int start,int end)
{ memset(dis,0x3f3f3f3f,sizeof dis);
priority_queue<pii,vector<pii >,greater<pii > > q;
q.push(make_pair(0,start)),dis[start]=0;
while(!q.empty())
{
int u=q.top().second;q.pop();
if(vis[u])continue;
vis[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
{
int v=t[i],w=val[i];
if(dis[v]>=dis[u]+w)
{
dis[v]=dis[u]+w;
q.push(make_pair(dis[v],v));
}
}
}
}

(update:之前没有加入vis数组是因为我认为它没有影响,抱歉。)

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