CF675A Infinite Sequence 题解

Content

给定三个整数 \(a,b,c\)，问你 \(b\) 是否在以 \(a\) 为首项，公差为 \(c\) 的等差数列中。

数据范围：\(-10^9\leqslant a,b,c\leqslant 10^9\)。

Solution

给出两个定理：设 \(x_n\) 在以 \(x_1\) 为首项，公差为 \(d(d\neq 0)\) 的等差数列中，那么就有：

\(1.\) \(d\mid (x_n-x_1)\)。

\(2.\) \(\dfrac{x_n-x_1}{d}\geqslant 0\)。

证明 \(1\)：众所周知，一个首项为 \(x_1\)，公差为 \(d\) 的等差数列的第 \(n\) 项 \(x_n\) 为 \(x_1+(n-1)d\)，那么必然就有 \(\dfrac{x_n-x_1}{d}=n-1\) 为整数，所以就有 \(d\mid (x_n-x_1)\)。

证明 \(2\)：由证明 \(1\) 我们可以知道，\(\dfrac{x_n-x_1}{d}=n-1\)。又因为 \(n\geqslant 1\)，所以 \(n-1\geqslant 0\)，通过等量代换就有 \(\dfrac{x_n-x_1}{d}\geqslant 0\)。

证毕。

但问题是，数据范围没有说公差 \(c\) 为 \(0\)！怎么办？

其实很简单，当公差 \(c\) 为 \(0\) 的时候，那么很显然，等差数列里面的每一项都相等，所以我们只需要判断是否有 \(a=b\) 即可。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;

int a, b, c;

int main() {
	scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
	if(!c) {
		if(a == b) printf("YES");
		else printf("NO");
	}
	else if(((b - a) / c >= 0 && (b - a) / c * c == b - a)) printf("YES");//这里判断是否是整数
	else printf("NO");
	return 0;
}