BZOJ 1600 [Usaco2008 Oct]建造栅栏：dp【前缀和优化】

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1600

题意：

　　给你一个长度为n的木板，让你把这个木板切割成四段（长度为整数），并且要求这四段可以构成一个四边形。

　　问你有多少种切割方法（切割点不同就算不同）。

题解：

　　构成四边形的条件：

　　　　任意一边长度 < 周长/2

　　　　证明：设四边为a,b,c,d。因为有a < b+c+d，所以2*a < a+b+c+d = C，所以a < C/2。

　　简化问题：

　　　　给你n个小木块，排成一排。问你将这些小木块分成四部分，且能构成四边形的方案数。

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = combinations

　　　　i：已经选了前i个木块

　　　　j：已经分成了j部分

　　找出答案：

　　　　ans = dp[n][4]

　　　　第n块已经选了，共被分成了4部分。

　　如何转移：

　　　　dp[i][j] = ∑ dp[i-k][j-1]　(k <= i, k < (n+1)/2)

　　　　同时保证下标 >= 0，以及边长k < 周长/2。

　　边界条件：

　　　　dp[0][0] = 1

　　　　others = 0

　　　　什么都没选为一种方案。

　　优化：

　　　　前缀和。

　　　　（其实不优化也能过。。。）

AC Code:

 // state expression:
 // dp[i][j] = combinations
 // i: considering ith board
 //
 // find the answer:
 // ans = dp[n][4]
 //
 // transferring:
 // dp[i][j] = sigma dp[i-k][j-1]
 // k: 1 to min(half,i)
 //
 // boundary:
 // dp[0][0] = 1
 // others = 0
 #include <iostream>
 #include <stdio.h>
 #include <string.h>
 #define MAX_N 2505

 using namespace std;

 int n;
 int dp[MAX_N][];
 int sum[MAX_N][];

 void read()
 {
     cin>>n;
 }

 int cal_sum(int x,int y,int k)
 {
     if(x==) return sum[y][k];
     return sum[y][k]-sum[x-][k];
 }

 void update_sum(int x,int y)
 {
     if(x==) sum[x][y]=dp[x][y];
     else sum[x][y]=sum[x-][y]+dp[x][y];
 }

 void solve()
 {
     memset(dp,,sizeof(dp));
     dp[][]=;
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         sum[i][]=;
     }
     for(int j=;j<=;j++)
     {
         for(int i=;i<=n;i++)
         {
             dp[i][j]=cal_sum(max(,i-(n+)/+),i-,j-);
             update_sum(i,j);
         }
     }
 }

 void print()
 {
     cout<<dp[n][]<<endl;
 }

 int main()
 {
     read();
     solve();
     print();
 }