2017.8.1 Noip2018模拟测试赛（十七）

日期：	八月第一天	总分：	300分
难度：	提高 ~ 省选	得分：	100分（不应该啊！）

题目目录：

T1：战争调度

T2：选数

T3：由乃的OJ

赛后心得：

MMP，首先第一题花了大概一半的时间，碰巧想到了正解。

好吧，作为数学渣的我看到T2肯定是懵的啦！T3又那么难，导致我后半场比赛都在发呆……

看来我要恶补数学了！！……

题解：

T1：战争调度

树形dp，暴力枚举每个点的染色情况，发$f[i][j]$表示$i$的子树中，有$j$个黑点，所产生的最大贡献。

时间复杂度 $O(2^{2n+1})$

CODE：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 using namespace std;

 int n,m,ans=,f[][],v[][][];
 bool p[];

 void dfs(int x,int d){
     memset(f[x],,sizeof(f[x]));
     if(d==){
         for(int j=;j<=n-;j++){
             if(p[j+])f[x][]+=v[x][j][];
             else f[x][]+=v[x][j][];
         }
         return;
     }
     p[d]=true,dfs(x<<,d-),dfs(x<<|,d-);
     for(int i=;i<(<<d-);i++){
         for(int j=;j<(<<d-);j++)
             f[x][i+j]=max(f[x][i+j],f[x<<][i]+f[x<<|][j]);
     }
     p[d]=false,dfs(x<<,d-),dfs(x<<|,d-);
     for(int i=;i<(<<d-);i++){
         for(int j=;j<(<<d-);j++)
             f[x][i+j]=max(f[x][i+j],f[x<<][i]+f[x<<|][j]);
     }
 }

 int main(){
     scanf("%d%d",&n,&m);
     for(int i=(<<n-);i<(<<n);i++){
         for(int j=;j<=n-;j++)
             scanf("%d",v[i][j]+);
     }
     for(int i=(<<n-);i<(<<n);i++){
         for(int j=;j<=n-;j++)
             scanf("%d",v[i][j]+);
     }
     dfs(,n);
     for(int i=;i<=m;i++)ans=max(ans,f[][i]);
     printf("%d",ans);
 }

T2：选数

推公式应该不算太难，只不过这题要用杜教筛。

\begin{aligned}
ans&=\sum^H_{x_i=L}[gcd(x_i)=K]\\
&=\sum^h_{x_i=l}[gcd(x_i)=1] &(l=\lfloor\frac{L-1}{K}\rfloor,h=\lfloor\frac{H}{K}\rfloor)\\
&=\sum^h_{x_i=l}\sum_{d\mid gcd(x_i)}\mu(d)\\
&=\sum^h_{x_i=l}\sum_{d\mid x_i}\mu(d)\\
&=\sum^h_{d=1}\sum_{l<x_i h,d\mid x_i}\mu(d)\\
&=\sum^h_{d=1}(\lfloor\frac{h}{d}\rfloor-\lfloor\frac{l}{d}\rfloor)^n\mu(d)\\
\end{aligned}

CODE：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<map>
 using namespace std;

 #define mod 1000000007
 int n,k,l,r,ans=;
 int mu1[],pri[],cnt=;
 bool vis[];
 map<int,int> mu2; 

 int qpow(int x,int y){
     int ans=;
     while(y){
         if(y&)ans=1LL*ans*x%mod;
         y>>=,x=1LL*x*x%mod;
     }
     return ans;
 }

 int init(){
     mu1[]=;
     for(int i=;i<=;i++){
         if(!vis[i]){
             mu1[i]=-;
             pri[++cnt]=i;
         }
         for(int j=;j<=cnt&&i*pri[j]<=;j++){
             vis[i*pri[j]]=true;
             if(i%pri[j]==){
                 mu1[i*pri[j]]=;break;
             }else mu1[i*pri[j]]=-mu1[i];
         }
     }
     for(int i=;i<=;i++)mu1[i]+=mu1[i-];
 }

 int get_mu(int x){
     if(x<=)return mu1[x];
     if(mu2.count(x))return mu2[x];
     long long ans=;
     for(int i=,pos;i<=(x>>);i=pos+){
         pos=x/(x/i);
         ans-=1LL*(get_mu(pos)-get_mu(i-))*(x/i-);
     }
     return mu2[x]=(ans+mod)%mod;
 }

 int main(){
     scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&l,&r);
     init();
     l=(l-)/k,r=r/k;
     for(int i=,pos;i<=r;i=pos+){
         pos=min(r/(r/i),l/i?(l/(l/i)):(int)2e9);
         ans=(ans+1LL*qpow(r/i-l/i,n)*(get_mu(pos)-get_mu(i-)))%mod;
     }
     printf("%d",(ans+mod)%mod);
 }

T3：由乃的OJ

强烈建议先做简化版——起床困难综合症；

核心：位运算每位独立，互不影响，不像加法、乘法会有进位！！

这个只不过变为了多组查询，树上操作。

用树剖啊！！线段树维护每一位正着和反着，每一位 1 与 0 的情况，压在一个 unsigned long long 里

会做那题，肯定能想到这题的正解，只不过很考验代码实现能力。

CODE：

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 using namespace std;

 #define LL long long
 #define lch (o<<1)
 #define rch (o<<1|1)
 int n,m,k,ot,x,y,tot=,cnt=,h[];
 int fa[],dep[],son[],opt[];
 int siz[],tp[],tid[],rak[];
 unsigned long long z,val[];
 struct Node{
     unsigned long long L0,L1,R0,R1;
 }v[],ans1[],ans2[];
 struct Edge{
     int x,next;
 }e[];

 void add_edge(int x,int y){
     e[++tot].x=y;
     e[tot].next=h[x],h[x]=tot;
 }

 void dfs1(int x,int father,int deep){
     fa[x]=father,dep[x]=deep,siz[x]=;
     for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
         if(e[i].x==father)continue;
         dfs1(e[i].x,x,deep+);
         siz[x]+=siz[e[i].x];
         if(siz[e[i].x]>siz[son[x]])son[x]=e[i].x;
     }
 }

 void dfs2(int x,int top){
     tp[x]=top,tid[x]=++cnt,rak[cnt]=x;
     if(son[x])dfs2(son[x],top);
     for(int i=h[x];i;i=e[i].next){
         if(e[i].x==fa[x]||e[i].x==son[x])continue;
         dfs2(e[i].x,e[i].x);
     }
 }

 unsigned LL opr(unsigned LL x,int opt,unsigned LL y){
     if(opt==)return x&y;
     if(opt==)return x|y;
     if(opt==)return x^y;
 }

 Node merge(Node l,Node r){
     Node o;
     o.L0=o.L1=o.R0=o.R1=;
     o.L0=(l.L0&r.L1)|((~l.L0)&r.L0);
     o.L1=(l.L1&r.L1)|((~l.L1)&r.L0);
     o.R0=(r.R0&l.R1)|((~r.R0)&l.R0);
     o.R1=(r.R1&l.R1)|((~r.R1)&l.R0);
     return o;
 }

 void build(int o,int l,int r){
     if(r==l){
         v[o].L0=v[o].R0=opr(,opt[rak[l]],val[rak[l]]);
         v[o].L1=v[o].R1=opr(-,opt[rak[l]],val[rak[l]]);
     }else{
         int mid=l+r>>;
         build(lch,l,mid),build(rch,mid+,r);
         v[o]=merge(v[lch],v[rch]);
     }
 }

 void update(int o,int l,int r,int x){
     if(r==l){
         v[o].L0=v[o].R0=opr(,opt[rak[l]],val[rak[l]]);
         v[o].L1=v[o].R1=opr(-,opt[rak[l]],val[rak[l]]);
     }else{
         int mid=l+r>>;
         if(x<=mid)update(lch,l,mid,x);
         else update(rch,mid+,r,x);
         v[o]=merge(v[lch],v[rch]);
     }
 }

 Node query(int o,int l,int r,int x,int y){
     if(l>=x&&r<=y)return v[o];
     else{
         int mid=l+r>>,pd=false;
         Node ans;
         if(x<=mid)ans=query(lch,l,mid,x,y),pd=true;
         if(y>mid){
             if(pd)ans=merge(ans,query(rch,mid+,r,x,y));
             else ans=query(rch,mid+,r,x,y);
         }
         return ans;
     }
 }

 Node solve(int x,int y){
     int cnt1=,cnt2=;
     while(tp[x]!=tp[y]){
         if(dep[tp[x]]>dep[tp[y]]){
             ans1[++cnt1]=query(,,n,tid[tp[x]],tid[x]);
             x=fa[tp[x]];
         }
         else{
             ans2[++cnt2]=query(,,n,tid[tp[y]],tid[y]);
             y=fa[tp[y]];
         }
     }
     if(dep[x]<dep[y])
         ans2[++cnt2]=query(,,n,tid[x],tid[y]);
     else
         ans1[++cnt1]=query(,,n,tid[y],tid[x]);
     for(int i=;i<=cnt1;i++)
         swap(ans1[i].L0,ans1[i].R0),swap(ans1[i].L1,ans1[i].R1);
     Node sum;
     if(cnt1)sum=ans1[];
     else sum=ans2[cnt2];
     for(int i=;i<=cnt1;i++)sum=merge(sum,ans1[i]);
     if(cnt1&&cnt2)sum=merge(sum,ans2[cnt2]);
     for(int i=cnt2-;i>=;i--)sum=merge(sum,ans2[i]);
     return sum;
 }

 int main(){
     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
     for(int i=;i<=n;i++)
         scanf("%d%llu",opt+i,val+i);
     for(int i=;i<n;i++){
         scanf("%d%d",&x,&y);
         add_edge(x,y);
         add_edge(y,x);
     }
     dfs1(,-,),dfs2(,);
     build(,,n);
     for(int i=;i<=m;i++){
         scanf("%d%d%d%llu",&ot,&x,&y,&z);
         if(ot==){
             Node a=solve(x,y);
             unsigned LL ans=;
             for(int j=;j>=;j--){
                 if(a.L0&(1ULL<<j))ans+=1ULL<<j;
                 else if(a.L1&(1ULL<<j)&&(1ULL<<j)<=z)
                     ans+=1ULL<<j,z-=1ULL<<j;
             }
             printf("%llu\n",ans);
         }
         if(ot==){
             opt[x]=y,val[x]=z;
             update(,,n,tid[x]);
         }
     }
 }

可怕！！