【BZOJ1413】取石子游戏（博弈，区间DP）

题意：在研究过Nim游戏及各种变种之后，Orez又发现了一种全新的取石子游戏，这个游戏是这样的：

有n堆石子，将这n堆石子摆成一排。游戏由两个人进行，两人轮流操作，每次操作者都可以从最左或最右的一堆中取出若干颗石子，

可以将那一堆全部取掉，但不能不取，不能操作的人就输了。

Orez问：对于任意给出一个初始一个局面，是否存在先手必胜策略。

T≤10 n≤1000 每堆的石子数目≤1e9

思路：From http://www.cnblogs.com/zcwwzdjn/archive/2012/05/26/2519685.html

在尝试SG函数, 区间DP无果后, 在Discuss的诱导下注意到对于一段区间[L, R], 若L+1到R的石子数固定, 那么使得在这段区间上先手必败的a[L]有且仅有一个.

这个性质灰常给力啊. 于是可以YY一个状态出来. 设left[i][j]表示, 在[i, j]区间的左边加上left[i][j]这个数后先手必败, right[i][j]的定义类似. 那么最后我们只用看left[2][n]是否等于a[1]就可以了.

接着我们想办法来算left[i][j]. right[i][j]可以类似的求出.

设L = left[i][j - 1], R = right[i][j - 1], X = a[j]. 通过下面的分析我们可以发现left[i][j]只和L, R, X三个数有关.

首先, 最容易想到的是, R = X的情况, 这时[i, j]这段区间已经先手必败, 那么left[i][j] = 0.

接着, 我们可以发选当X < L且X < R时, left[i][j] = X. 在这种局面下, 若先手在一侧取走一些石子, 那么后手在另外一边取走相同数量的石子就可以了.

然后我们根据L和R的关系分类讨论一下.

若L > R, 我们考虑R < x <= L的情况, 这时left[i][j] = X - 1. X - 1 = R时是很轻松的, 因为先手不能把右侧石堆取到R, 所以后手保证每次取之后两堆石子相同就可以了. 当X - 1 > R时, 若先手把左边取到R, 那么后手把右边取到R + 1就可以了; 若先手取到R + 1, 那么后手取到R + 2; 以此类推.

若L < R, 我们考虑L <= X < R的情况, 这时left[i][j] = X + 1. 这个和上面类似.

最后的一种情况, x > L且x > R. 其实left[i][j] = X. 若L = R, 没啥说的; 若L和R不等, 我们不妨设L > R, 这时若先手把右边取到L, 那么后手需要把左边取到L - 1, 这时如果先手跟着后手走, 那么后手一颗一颗石子取就赢了; 若先手把左边取到R, 那么后手需要把右边取到R + 1, 这种情况似乎一定成立, 因为后手不会主动走到R + 1, 除非对方走到了R.

反正这个分析无比蛋疼...首先状态的定义非常奇葩, 具有一定的启发性(因为这题灰常隐蔽的一个性质)...然后分情况讨论无比痛苦...考场上还是找规律吧...

分类讨论的核心在于要找出后手的必胜策略.

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<iostream>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 typedef long long ll;
 using namespace std;
 #define N   1100
 #define oo  10000000
 #define MOD 1000000007

 int l[N][N],r[N][N],a[N];

 int main()
 {
     int cas;
     scanf("%d",&cas);
     while(cas--)
     {
         int n;
         scanf("%d",&n);
         for(int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
         for(int i=;i<=n;i++) l[i][i]=r[i][i]=a[i];
         for(int len=;len<=n;len++)
          for(int i=;i<=n-len+;i++)
          {
              int j=i+len-;
             int p=l[i][j-];
             int q=r[i][j-];
             int x=a[j];
             if(x==q) l[i][j]=;
              else if((x<p&&x<q)||(x>p&&x>q)) l[i][j]=x;
               else if(p<q) l[i][j]=x+;
                else l[i][j]=x-;
             p=r[i+][j];
             q=l[i+][j];
             x=a[i];
             if(x==q) r[i][j]=;
              else if((x<p&&x<q)||(x>p&&x>q)) r[i][j]=x;
               else if(p<q) r[i][j]=x+;
                else r[i][j]=x-;
         }
         if(n==) printf("1\n");
          else printf("%d\n",(r[][n-]!=a[n]));
     }
     return ;
 }