一维二维Sparse Table

写在前面：

　　记录了个人的学习过程，同时方便复习

• Sparse Table

　　有些情况，需要反复读取某个指定范围内的值而不需要修改

　　逐个判断区间内的每个值显然太浪费时间

　　我们希望用空间换取时间

　　ST表就是为此存在的

　　在一维二维甚至三维中，利用动态规划的思想，将区域反复切割直到不能再分

　　每一次切割产生的范围都可以存储想要的值：

　　　　在生成时找好获得值的方法

　　　　查询时找好获取值得关系

　　在储存时，由于分割总是分成两半(横着来一下，竖着来一下就是四段)

　　利用这个性质，就能高效的用2^k或者2^kn，2^km表示每个分割区域的长度(面积)

　　而在实现ST表的功能时，是将以上内容倒着进行的

　　下面的代码仅仅是实现查询范围最大值

　　若想查询范围最小值，对于二维的情况，可能会遇到一个矩阵没有填满的情况，取到了0

　　这种情况需要特判一下

　　同理，范围最大公因数，最小公倍数也需要特判

　　但是最大值，差，和这种有没有多出来的0都一样的，就不必特判了

(这一点在二维的矩阵树里也有体现)

　　一维Sparse Table，区间类动态规划

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define re register
 3
 4 using namespace std;
 5
 6 const int MAXN=100010;
 7 int n,f[MAXN][31],Ql,Qr;
 8 //f[左端点][2^k]
 9 //区间[左端点][左端点+2^k-1]
10
11 inline int C_max(int a,int b){return a>b? a:b;}
12
13 int RMQ(int l,int r){
14     int t=0;//需要一个t使得2^k>=(r-l+1),2^k<(r-l+1),即两个2^t长度能覆盖区间
15     while((1<<(t+1))<=(r-l+1)) t++;//直到2^(t+1)就比总长度还要大了
16     return C_max(
17                 f[l         ][t],
18                 f[r-(1<<t)+1][t]
19             );
20 }
21
22 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
23 {
24     scanf("%d",&n);
25
26     for(re int i=1;i<=n;++i)
27         scanf("%d",&f[i][0]);
28
29     for(re int k=1;(1<<k)<=n;++k)
30         for(re int i=1;i+(1<<k)-1<=n;++i)
31             f[i][k]=C_max(//每段长度均为2^(k-1)
32                 f[i           ][k-1],
33                 f[i+(1<<(k-1))][k-1]
34             );
35
36     while(scanf("%d%d",&Ql,&Qr)==2)
37         printf("%d\n",RMQ(Ql,Qr));
38
39     return 0;
40 }
41 /*
42     将区间
43         (i,i+2^k-1)分成
44
45         (i,i+2^(k-1)-1)
46         (i+2^(j-1),i+2^k-1)
47     两部分
48 */

Java：

 1 import java.io.*;
 2 import java.util.*;
 3
 4 class pony{
 5
 6     static int MAXN=100010;
 7     static int n,Ql,Qr;
 8     static int[][] f=new int[MAXN][31];
 9     //f[左端点][2^k]
10     //区间[左端点][左端点+2^k-1]
11
12     static int C_max(int a,int b){return a>b? a:b;}
13
14     static int RMQ(int l,int r){
15         int t=0;//需要一个t使得2^k>=(r-l+1),2^k<(r-l+1),即两个2^t长度能覆盖区间
16         while((1<<(t+1))<=(r-l+1)) t++;//直到2^(t+1)就比总长度还要大了
17         return C_max(
18                 f[l         ][t],
19                 f[r-(1<<t)+1][t]
20             );
21     }
22
23     public static void main(String[] args) throws Exception {
24
25         Scanner cin=new Scanner(System.in);
26         n=cin.nextInt();
27
28         for(int i=1;i<=n;++i)
29             f[i][0]=cin.nextInt();
30
31         for(int k=1;(1<<k)<=n;++k)
32             for(int i=1;i+(1<<k)-1<=n;++i)
33                 f[i][k]=C_max(//每段长度均为2^(k-1)
34                     f[i           ][k-1],
35                     f[i+(1<<(k-1))][k-1]
36                 );
37
38         Ql=cin.nextInt();
39         Qr=cin.nextInt();
40
41         System.out.println(RMQ(Ql,Qr));
42     }
43 }

　　二维Sparse Table，矩阵类动态规划

C++：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define re register
 3
 4 using namespace std;
 5
 6 const int MAXN=1010,MAXM=1010;
 7 int n,m,f[MAXN][MAXN][15][15],qx1,qy1,qx2,qy2;
 8 //f[y1][x1][km][kn]
 9 //矩阵(x1,y1)(x1+2^kn-1,y1+2^km-1)
10
11 inline int C_max(int a,int b){return a>b? a:b;}
12 int C_max4(int a,int b,int c,int d){return C_max(C_max(C_max(a,b),c),d);}
13
14 int RMQ(int x1,int y1,int x2,int y2){
15     int tm=0,tn=0;
16     while((1<<(tm+1))<=(y2-y1+1)) ++tm;
17     while((1<<(tn+1))<=(x2-x1+1)) ++tn;
18     return C_max4(
19                 f[y1          ][x1          ][tm][tn],
20                 f[y2-(1<<tm)+1][x1          ][tm][tn],
21                 f[y1          ][x2-(1<<tn)+1][tm][tn],
22                 f[y2-(1<<tm)+1][x2-(1<<tn)+1][tm][tn]
23             );
24 }
25
26 int main(int argc,char *argv[],char *enc[])
27 {
28     scanf("%d%d",&n,&m);
29
30     for(re int i=1;i<=m;++i)
31         for(re int j=1;j<=n;++j)
32             scanf("%d",&f[i][j][0][0]);
33
34     /*
35         当某一维长度为1时不好处理，单独拿出来处理
36     */
37
38     for(re int km=1;(1<<km)<=m;++km)
39         for(int i=1;i+(1<<km)-1<=m;++i)
40             for(int j=1;j<=n;++j)
41                 f[i][j][km][0]=C_max(f[i][j][km-1][0],f[i+(1<<(km-1))][j][km-1][0]);
42
43     for(re int kn=1;(1<<kn)<=n;++kn)
44         for(int i=1;i<=m;++i)
45             for(int j=1;j+(1<<kn)-1<=n;++j)
46                 f[i][j][0][kn]=C_max(f[i][j][0][kn-1],f[i][j+(1<<(kn-1))][0][kn-1]);
47
48     for(re int km=1;(1<<km)<=m;++km)
49         for(re int kn=1;(1<<kn)<=n;++kn)
50             for(re int i=1;i+(1<<km)-1<=m;++i)
51                 for(re int j=1;j+(1<<kn)-1<=n;++j)
52                     f[i][j][km][kn]=C_max4(//每次平分矩形，小矩形长度为2^(j-1),高为2^(i-1)
53                         f[i            ][j            ][km-1][kn-1],
54                         f[i+(1<<(km-1))][j            ][km-1][kn-1],
55                         f[i            ][j+(1<<(kn-1))][km-1][kn-1],
56                         f[i+(1<<(km-1))][j+(1<<(kn-1))][km-1][kn-1]
57                     );
58
59     while(scanf("%d%d%d%d",&qx1,&qy1,&qx2,&qy2)==4)
60         printf("%d\n",RMQ(qx1,qy1,qx2,qy2));
61
62     return 0;
63 }
64 /*
65     将矩阵
66         (j        ,i          ,j+2^k-1    ,i+2^k-1    )分成
67
68         (j        ,i          ,j+2^(k-1)-1,i+2^(k-1)-1)
69         (j        ,i+2^(k-1)-1,j+2^(k-1)-1,i+2^k-1    )
70         (j+2^(k-1),i          ,j+2^k-1    ,i+2^(k-1)-1)
71         (j+2^(k-1),i+2^(k-1)-1,j+2^k-1    ,i+2^k-1    )
72     四部分
73 */

Java：

 1 import java.io.*;
 2 import java.util.*;
 3
 4 class pony{
 5
 6     static int MAXN=1010,MAXM=1010;
 7     static int n,m,qx1,qy1,qx2,qy2;
 8     static int[][][][] f=new int[MAXN][MAXN][15][15];
 9     //f[y1][x1][km][kn]
10     //矩阵(x1,y1)(x1+2^kn-1,y1+2^km-1)
11
12     static int C_max(int a,int b){return a>b? a:b;}
13     static int C_max4(int a,int b,int c,int d){return C_max(C_max(C_max(a,b),c),d);}
14
15     static int RMQ(int x1,int y1,int x2,int y2){
16         int tm=0,tn=0;
17         while((1<<(tm+1))<=(y2-y1+1)) ++tm;
18         while((1<<(tn+1))<=(x2-x1+1)) ++tn;
19         return C_max4(
20                 f[y1          ][x1          ][tm][tn],
21                 f[y2-(1<<tm)+1][x1          ][tm][tn],
22                 f[y1          ][x2-(1<<tn)+1][tm][tn],
23                 f[y2-(1<<tm)+1][x2-(1<<tn)+1][tm][tn]
24             );
25     }
26
27     public static void main(String[] args) throws Exception {
28
29         Scanner cin=new Scanner(System.in);
30         n=cin.nextInt();
31         m=cin.nextInt();
32
33         for(int i=1;i<=m;++i)
34             for(int j=1;j<=n;++j)
35                 f[i][j][0][0]=cin.nextInt();
36
37     /*
38         当某一维长度为1时不好处理，单独拿出来处理
39     */
40
41         for(int km=1;(1<<km)<=m;++km)
42             for(int i=1;i+(1<<km)-1<=m;++i)
43                 for(int j=1;j<=n;++j)
44                     f[i][j][km][0]=C_max(f[i][j][km-1][0],f[i+(1<<(km-1))][j][km-1][0]);
45
46         for(int kn=1;(1<<kn)<=n;++kn)
47             for(int i=1;i<=m;++i)
48                 for(int j=1;j+(1<<kn)-1<=n;++j)
49                     f[i][j][0][kn]=C_max(f[i][j][0][kn-1],f[i][j+(1<<(kn-1))][0][kn-1]);
50
51         for(int km=1;(1<<km)<=m;++km)
52             for(int kn=1;(1<<kn)<=n;++kn)
53                 for(int i=1;i+(1<<km)-1<=m;++i)
54                     for(int j=1;j+(1<<kn)-1<=n;++j)
55                         f[i][j][km][kn]=C_max4(//每次平分矩形，小矩形长度为2^(j-1),高为2^(i-1)
56                         　　f[i            ][j            ][km-1][kn-1],
57                         　　f[i+(1<<(km-1))][j            ][km-1][kn-1],
58                         　　f[i            ][j+(1<<(kn-1))][km-1][kn-1],
59                         　　f[i+(1<<(km-1))][j+(1<<(kn-1))][km-1][kn-1]
60                     　　);
61
62         qx1=cin.nextInt();
63         qy1=cin.nextInt();
64         qx2=cin.nextInt();
65         qy2=cin.nextInt();
66
67         System.out.println(RMQ(qx1,qy1,qx2,qy2));
68     }
69 }