洛谷P3301 [SDOI2013]方程（扩展Lucas+组合计数）

题面

传送门

题解

为啥全世界除了我都会\(exLucas\)啊……然而我连中国剩余定理都不会orz

不知道\(exLucas\)是什么的可以去看看yx巨巨的这篇博客->这里

好了现在我们就解决了计算组合数的问题了，接下来问题就在于怎么计算了

首先如果是强制大于等于很简单，设条件分别为\(x_i\geq A_i\)，那么方案数就是\({m-\sum(A_i-1)-1\choose n-1}\)，用隔板法就能证明

然而现在前面一部分是小于等于，这好办，我们把它化成\(x_i\geq A_i+1\)，这样就方便计算了，然后用容斥来计算正确的答案

然后没有然后了

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=11005;
int n,m,P,T,n1,n2,res,cnt,x,fac[N],pi[11],pk[11],a[11];
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getchar())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
int ksm(R int x,R int y,R int p){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%p)if(y&1)res=1ll*res*x%p;
	return res;
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b)return x=1,y=0,void();
	exgcd(b,a%b,y,x),y-=a/b*x;
}
inline int inv(int n,int p){
	if(!n)return 0;
	int x,y;exgcd(n,p,x,y);
	x=(x%p+p)%p;return x?x:x+p;
}
void Pre(int pi,int pk){
	fac[0]=1;
	fp(i,1,pk)fac[i]=(i%pi)?1ll*fac[i-1]*i%pk:fac[i-1];
}
int Fac(int n,int pi,int pk){
	if(!n)return 1;
	int res=ksm(fac[pk],n/pk,pk);
	return 1ll*res*fac[n%pk]%pk*Fac(n/pi,pi,pk)%pk;
}
int C(int n,int m,int pi,int pk){
//	printf("%d %d %d %d\n",n,m,pi,pk);
	if(m>n)return 0;
	int a=Fac(n,pi,pk),b=Fac(m,pi,pk),c=Fac(n-m,pi,pk),res,k=0;
	for(R int i=n;i;i/=pi)k+=i/pi;
	for(R int i=m;i;i/=pi)k-=i/pi;
	for(R int i=n-m;i;i/=pi)k-=i/pi;
	res=1ll*a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk*ksm(pi,k,pk)%pk;
	return 1ll*res*(P/pk)%P*inv(P/pk,pk)%P;
}
int exLucas(int n,int m){
	if(m>n)return 0;
	int res=0;
	fp(i,1,cnt)Pre(pi[i],pk[i]),(res+=C(n,m,pi[i],pk[i]))%=P;
	return res;
}
void solve(){
	n=read(),n1=read(),n2=read(),m=read();
	fp(i,0,n1-1)a[i]=read();
	fp(i,1,n2)m-=read()-1;
	int lim=(1<<n1),res=0;
	fp(i,0,lim-1){
		int s=m,t=1;
		fp(j,0,n1-1)if(i>>j&1)s-=a[j],t=P-t;
		if(s-1<0)continue;
		(res+=1ll*exLucas(s-1,n-1)*t%P)%=P;
	}
	printf("%d\n",res);
}
void init(){
	int x=P;
	for(R int i=2;1ll*i*i<=x;++i)if(x%i==0){
		pi[++cnt]=i,pk[cnt]=1;
		while(x%i==0)pk[cnt]*=i,x/=i;
	}
	if(x>1)++cnt,pi[cnt]=pk[cnt]=x;
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	T=read(),P=read(),init();
	while(T--)solve();
	return 0;
}