[SDOI2015][bzoj3990] 序列 [搜索]

题面

传送门

思路

首先，这道题目有一个非常显然（但是我不会严格证明，只能意会一下）的结论：一个合法的操作序列中，任意两个操作是可以互换的

那么，这个结论加上本题极小的数据范围，为什么不搜索一下呢？

ok说干就干

既然顺序不重要，我们就从交换两个长度为1的序列开始搜索

这时，就有另外一个性质：因为我们每种交换能且只能做一次，所以有的情况下我们是一定无法完成的

考虑交换两个长度为$2^{k$的序列，这时我们把整个序列分成长度为$2}{k+1}$的段

如果这些段全部都是连续且递增（也就是3,4,5,6这样）的，说明这个操作不用做

如果这些段里面有一个不是连续递增的，就把这个段的前后两半交换

如果这些段里面有两个不是连续递增的，那么我们对于这两段的两半，讨论四种交换的情况，分别判断它们是否合法

如果这些段里面有超过两个不是连续递增的，那么可以证明此时我们一定无法完成排序，可以把这个搜索枝剪掉

这样操作以后，我们会发现，对于所有合法的长度为$2^{k$的序列的交换，完成之后的序列，一定由若干个长度为$2}{k+1}$的连续递增序列构成

这时我们再递归到下一层处理，递归n层以后要判断一下最终序列是否是1-n，然后用当前这个操作序列中的操作个数的阶乘加到答案上（因为可以随意改变操作顺序）

总时间复杂度为$O(2^{24})$，但是远远达不到这个值

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
#include<vector>
using namespace std;
inline ll read(){
    ll re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0'){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9') re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
ll n,a[5010],tmp[5010][15];
vector<int>ans;//不同的操作序列的操作个数
void dfs(ll k,ll num){
    ll i,j,t,cnt=0,m1,m2;//cnt是非连续递增的段的个数，m1m2是前两个的起点
    if(k==n+1){
        for(i=1;i<=(1<<n);i++) if(tmp[i][k]!=i) return;
        ans.push_back(num);return;//注意到
    }
    for(i=1;i<=(1<<n);i+=(1<<k)){//统计cnt
        t=tmp[i][k];
        for(j=i+1;j<i+(1<<k);j++){
            if(tmp[j][k]!=t+j-i){
                if(cnt==2) return;
                cnt++;
                if(cnt==1) m1=i;
                else m2=i;
                break;
            }
        }
    }
    if(cnt>2) return;
    for(i=1;i<=(1<<n);i++) tmp[i][k+1]=tmp[i][k];
    if(cnt==0){
        dfs(k+1,num);return;
    }
    if(cnt==1){
        for(j=m1;j<m1+(1<<k-1);j++) swap(tmp[j][k+1],tmp[j+(1<<k-1)][k+1]);
        dfs(k+1,num+1);return;
    }
    bool flag=1;//这里开始枚举四种情况
    for(i=1;i<=(1<<k-1);i++) swap(tmp[m1+i-1][k+1],tmp[m2+i-1][k+1]);
    for(i=1;i<=(1<<k);i++) if(tmp[m1+i-1][k+1]-tmp[m1][k+1]!=i-1) flag=0;
    for(i=1;i<=(1<<k);i++) if(tmp[m2+i-1][k+1]-tmp[m2][k+1]!=i-1) flag=0;
    if(flag) dfs(k+1,num+1);
    flag=1;
    for(i=1;i<=(1<<n);i++) tmp[i][k+1]=tmp[i][k];
    for(i=1;i<=(1<<k-1);i++) swap(tmp[m1+(1<<k-1)+i-1][k+1],tmp[m2+i-1][k+1]);
    for(i=1;i<=(1<<k);i++) if(tmp[m1+i-1][k+1]-tmp[m1][k+1]!=i-1) flag=0;
    for(i=1;i<=(1<<k);i++) if(tmp[m2+i-1][k+1]-tmp[m2][k+1]!=i-1) flag=0;
    if(flag) dfs(k+1,num+1);
    flag=1;
    for(i=1;i<=(1<<n);i++) tmp[i][k+1]=tmp[i][k];
    for(i=1;i<=(1<<k-1);i++) swap(tmp[m1+i-1][k+1],tmp[m2+(1<<k-1)+i-1][k+1]);
    for(i=1;i<=(1<<k);i++) if(tmp[m1+i-1][k+1]-tmp[m1][k+1]!=i-1) flag=0;
    for(i=1;i<=(1<<k);i++) if(tmp[m2+i-1][k+1]-tmp[m2][k+1]!=i-1) flag=0;
    if(flag) dfs(k+1,num+1);
    flag=1;
    for(i=1;i<=(1<<n);i++) tmp[i][k+1]=tmp[i][k];
    for(i=1;i<=(1<<k-1);i++) swap(tmp[m1+(1<<k-1)+i-1][k+1],tmp[m2+(1<<k-1)+i-1][k+1]);
    for(i=1;i<=(1<<k);i++) if(tmp[m1+i-1][k+1]-tmp[m1][k+1]!=i-1) flag=0;
    for(i=1;i<=(1<<k);i++) if(tmp[m2+i-1][k+1]-tmp[m2][k+1]!=i-1) flag=0;
    if(flag) dfs(k+1,num+1);
}
int main(){
    n=read();ll i,tans=1,out=0,j;
    for(i=1;i<=(1<<n);i++) a[i]=read(),tmp[i][1]=a[i];
    dfs(1,0);
    for(i=0;i<ans.size();i++){//阶乘更新答案
        tans=1;
        for(j=1;j<=ans[i];j++) tans*=j;
        out+=tans;
    }
    cout<<out;
}