并不对劲的bzoj4827:loj2020:p3723:[AHOI/HNOI2017]礼物

题目大意

有两个长度为$n$($n\leq5*10^4$)的数列$x_1,x_2,...,x_n$和$y_1,y_2,...,y_n$，两个数列里的数都不超过$m$($m\leq100$)

现在可以进行“(1)把$x$中的所有数同时加上一个值”和“$i<n$时，$(2)x_i$变成$x_{i+1}$；$i=n$时，$x_i$变成$x_1$”这两种操作

操作任意次，使$\Sigma_{i=1}^{n}{(x_i-y_i)^2}$最小

题解

设(1)操作加上的值为$k$，(2)操作执行了$j$次；定义$add(a,b)$在$a+b\leq n$时为$a+b$，否则为$a+b-n$

那么就是要选出合适的$k,j$，使$\Sigma_{i=1}^{n}{(x_i+k-y_{add(i,j)})^2}$最小

该式=$\Sigma_{i=1}^{n}{(x_i^2+k^2-y_{add(i,j)}^2+2*x_i*k-2*x_i*y_{add(i,j)}-2*k*y_{add(i,j)})}$

=$(\Sigma_{i=1}^{n}x_i^2)+(\Sigma_{i=1}^{n}y_i^2)+n*k^2+(\Sigma_{i=1}^{n}{(2*x_i*k-2*x_i*y_{add(i,j)}-2*k*y_{add(i,j)})})$

其中$(\Sigma_{i=1}^{n}x_i^2)+(\Sigma_{i=1}^{n}y_i^2)$是定值，要让剩下的部分$n*k^2+(\Sigma_{i=1}^{n}{(2*x_i*k-2*x_i*y_{add(i,j)}-2*k*y_{add(i,j)})})$更小

该式=$n*k^2+(\Sigma_{i=1}^{n}{(2*k*(x_i-y_{add(i,j)})-2*x_i*y_{add(i,j)}})$

=$n*k^2+(\Sigma_{i=1}^{n}{2*k*(x_i-y_{add(i,j)})})-(\Sigma_{i=1}^{n}{2*x_i*y_{add(i,j)}})$

=$n*k^2+2*k*((\Sigma_{i=1}^{n}{x_i})-(\Sigma_{i=1}^{n}{y_i}))-(\Sigma_{i=1}^{n}{2*x_i*y_{add(i,j)}})$

将它分成两部分，第一部分是$n*k^2+2*k*((\Sigma_{i=1}^{n}{x_i})-(\Sigma_{i=1}^{n}{x_i}))$，第二部分是$(\Sigma_{i=1}^{n}{2*x_i*y_{add(i,j)}})$

第一部分只和$k$有关，第二部分只和$j$有关

那就可以分别算出$k$为$-m$到$m$时第一部分的取值，分别算出$j$为$0$到$n-1$时第二部分的取值，再枚举$k，j$的值

发现第二部分是个卷积式，算这部分的时间复杂度围为$\Theta(n*log n)$

总时间复杂度是$\Theta(n*log n+n*m)$

代码

#include<algorithm>

#include<cmath>

#include<cstdio>

#include<cstdlib>

#include<cstring>

#include<ctime>

#include<iomanip>

#include<iostream>

#include<map>

#include<queue>

#include<set>

#include<stack>

#include<vector>

#define rep(i,x,y) for(register int i=(x);i<=(y);++i)

#define dwn(i,x,y) for(register int i=(x);i>=(y);--i)

#define maxn 50010

#define maxm (maxn*6)

#define inf 2147483647

#define LL long long

using namespace std;

int read()

{

	int x=0,f=1;char ch=getchar();

	while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();

	if(ch=='-')f=-1,ch=getchar();

	while(isdigit(ch))x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();

	return x*f;

}

void write(int x)

{

	if(x==0){putchar('0'),putchar('\n');return;}

	int f=0;char ch[20];

	if(x<0)putchar('-'),x=-x;

	while(x)ch[++f]=x%10+'0',x/=10;

	while(f)putchar(ch[f--]);

	putchar('\n');

	return;

}

const LL mod = 998244353;

int ans,m,n,fakeans[maxn],x[maxn],y[maxn],sumx,sumy,ans2,a[maxm],b[maxm],nown,len,r[maxm];

int mul(int x,int y){int res=1;while(y){if(y&1)res=(LL)res*(LL)x%mod;x=(LL)x*(LL)x%mod,y>>=1;}return res;}

void dnt(int * c,int f)

{

	rep(i,0,nown-1){r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));}

	rep(i,0,nown-1){if(i<r[i])swap(c[i],c[r[i]]);}

	for(int i=1;i<nown;i<<=1)

	{

		int wn=mul(3,(mod-1)/(i<<1)),xx,yy;

		if(f==-1)wn=mul(wn,mod-2);

		for(int j=0;j<nown;j+=(i<<1))

		{

			int w=1;

			rep(k,0,i-1)xx=c[j+k]%mod,yy=(LL)w*(LL)c[j+i+k]%mod,c[j+k]=(xx+yy)%mod,c[j+i+k]=(xx-yy+mod)%mod,w=(LL)w*(LL)wn%mod;

		}

	}

	if(f==-1){int inv=mul(nown,mod-2);rep(i,0,nown-1)c[i]=(LL)c[i]*(LL)inv%mod;}

}

int main()

{

	n=read(),m=read();

	rep(i,1,n)x[i]=read(),sumx+=x[i],ans2+=x[i]*x[i];

	rep(i,1,n)y[i]=read(),sumy+=y[i],ans2+=y[i]*y[i];

	rep(i,0,n-1)a[i]=x[i+1];

	rep(i,n,(n<<1)-1)a[i]=x[i-n+1];

	rep(i,0,n)b[i]=y[n-i]*2;

	for(nown=1,len=0;nown<(n+n+n-1);nown<<=1)len++;

	dnt(a,1),dnt(b,1);

	rep(i,0,nown-1)a[i]=(LL)a[i]*(LL)b[i]%mod;

	dnt(a,-1);

	rep(i,0,n-1)fakeans[i]=a[i+n-1];

	ans=inf;

	rep(k,-m,m)rep(j,0,n-1)ans=min(ans,2*k*(sumx-sumy)+n*k*k-fakeans[j]);

	write(ans+ans2);

	return 0;

}

/*

5 6

1 2 3 4 5

6 3 3 4 5

*/

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