洛谷P4550 收集邮票（概率期望）

传送门

神仙题啊……这思路到底是怎么来的……

ps：本题是第$k$次买邮票需要$k$元，而不是买的邮票标号为$k$时花费$k$元

我们设$g[i]$表示现在有$i$张，要买到$n$张的期望张数，设$P(x,i)$表示买$x$次能从$i$张买到$n$张的概率，则有$$g[i]=\sum_{x=0}^\infty x\times P(x,i)$$

然后考虑一下递推关系式，有$$g[i]=g[i+1]+\frac{n}{n-i},g[n]=0$$

于是就可以愉快的递推了

然后设$f[i][j]$表示现在有$i$张邮票，下一张邮票要花$j$元，买到$n$张的期望花费。不难发现如下的递推式$$f[i][j]=j+f[i][j+1]\times \frac{i}{n}+f[i+1][j+1]\times \frac{n-i}{i}$$

然而因为$j$可能是无限大，所以我们没办法简单的递推。

于是换一个角度思考，我们考虑在$f[i][j]$的情况下还需要买几次才能够买齐，则有$$f[i][j]=\sum_{x=0}^\infty (j+(j+1)+...+(j+x-1))\times P(x,i)$$

其中$x$表示枚举次数，小括号里是$x$次购买所需的花费

继续推$$f[i][j]=\sum_{x=0}^\infty \frac{x(2j+x-1)}{2} \times P(x,i)$$

然后把$j+1$带进去，可以得出$$f[i][j+1]-f[i][j]=\sum_{x=0}^\infty x\times P(x,i)=g[i]$$

然后再考虑一下原来的递推公式$$f[i][j]=j+f[i][j+1]\times \frac{i}{n}+f[i+1][j+1]\times \frac{n-i}{i}$$

$$f[i][j]=j+(f[i][j]+g[i])\times \frac{i}{n}+(f[i+1][j]+g[i+1])\times \frac{n-i}{i}$$

然后移项之后可得$$f[i][j]=\frac{(j+g[i]\times \frac{i}{n}+(f[i+1][j]+g[i+1])\times \frac{n-i}{i})\times n}{n-i}$$

然后考虑一下，因为答案是$f[1][0]$，所以所有$j$不等于$0$的情况对我们都没有用，于是可以把第二维省略，只考虑$j=0$的情况

$$f[i]=\frac{(j+g[i]\times \frac{i}{n}+(f[i+1]+g[i+1])\times \frac{n-i}{i})\times n}{n-i}$$

边界条件为$f[n]=0$

然后就可以直接递推了

 //minamoto
 #include<cstdio>
 const int N=;
 double f[N],g[N],m;int n;
 int main(){
     scanf("%d",&n),f[n]=g[n]=,m=n;
     for(int i=n-;i>=;--i) g[i]=g[i+]+m/(m-i);
     for(int i=n-;i>=;--i)
     f[i]=((f[i+]+g[i+])*(m-i)/m+g[i]*i/m+1.0)*m/(m-i);
     printf("%.2lf\n",f[]);
     return ;
 }