du熊的机器人

【du熊的机器人】

Description

　　du熊正在玩一个别人刚送给它的机器人。这个机器人只能在一个棋盘中行走，棋盘的左上角格子为(0, 0)，右下角格子为(X, Y)。

　　du熊控制这个机器人从棋盘的左上角，走到右下角，再从右下角回到左上角。当机器人从左上角走到右下角的过程中，如果它当前所在格子为(x, y)，则它只能走到(x+1, y)或(x, y+1)的格子；当机器人从右下角走回左上角的过程中，如果它当前所在的格子为(x, y)，则它只能走到(x-1, y)或(x, y-1)的格子。并且du熊要求机器人从左上角走到右下角再走回左上角的整个过程中，最多经过同一个格子一次。

　　请你帮du熊计算出这个机器人一共有多少种不同的路线。

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Resolution

设所求的解为F(x,y)。

从(0,0)走到(x,y)，所有可能解法是C(x+y,x)(C代表求组合数)。可以理解成从(0,0)走到(x,y)，一共需要走(x+y)步，其中x步是横向移动，y步是横向移动。 所有可能走法对应于从(x+y)步中挑出x步，做横向移动。

同样地，从(x,y)走到(0,0)，同样有C(x+y,x)种方案。从C(x+y,x)中方案中选出不同的两种路线，路线A作为从(0,0)走到(x,y)的路线 ，路线B作为从(x, y)走到(0, 0)的路线，路线A和路线B的组合共有C(C(x+y,x),2)种选择。但是这些组合中， 有些方案并不满足“最多经过同一个格子一次”的要求，所以需要将其剔除掉。

假设路线A和路线B不满足“最多经过同一个格子一次”，A和B经过两次的格子中(不考虑(1,1)和(x,y))，最左上角的格子的坐标是(i,j)。如下图所示，(i,j)只可能是(1,0),(0,1)或橘色方框中除(4,5)外的一个。两个在(x,0)(x>0)相交的路线必先在(1,0)相交。 两个在(0,y)(y>0)相交的路线必先在(0,1)相交。

分别计算这三种情况下，剔除的方案数：

• 路线A和路线B最先在(1,0)相遇，需要剔除掉的方案数相当于从(1,0)到(x,y)选择两条不同路线的方案数，共有C(C(x-1+y,x-1),2)种。
• 路线A和路线B最先在(0,1)相遇，需要剔除掉的方案数相当于从(0,1)到(x,y)选择两条不同路线的方案数，共有C(C(x+y-1,y-1),2)种。
• 路线A和路线B最先在橘色方框中的一点(i,j)相遇，需要剔除掉的方案数等于从(0,0)到(i,j)两条不相交的方案数即F(i,j)，乘以从(i,j)到(x,y)任选两条路线(可以重复)的方案数，即(C(x-i+y-j,x-i)^2)种。

故可以得到如下的计算F(x,y)的公式：

转自：http://weihethu.github.io/blog/2013/04/14/du-bear-robots/