POJ 1061 青蛙的约会（拓展欧几里得求同余方程，解ax+by=c）

青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江

 

题目分析

首先，我们可以轻松的列出方程： 
设走了t步，x,y,m,n,L含义如题。 
则x+m*t≡y+n*t (mod L) 
移项：(x-y)+t(m-n)≡0(mod L) 
这个式子等价于(x-y)+t(m-n)=kL 
//t和k才是未知数

再移项：kL-t(m-n)=(x-y) 
为了化出不定方程的标准形式（不化也可以），再改成： 
kL+t(n-m)=(x-y) 
记n-m=p,x-y=q 
则kL+tp=q 
//再次重申，t和k才是未知数！ 
上式已经是标准的不定方程了，然后怎么解它呢？

以下是重点 
首先，它有解的前提是gcd(L,p)|q。(整除符号，不是或运算(QωQ)) 
所以我们先求gcd(L,p)。做一次拓欧，求出gcd(L,p)，同时我们求出了（拓欧的）x0,y0先放着。（为了不和题目的x,y冲突） 
接着，如果gcd(L,p)不整除q，那么之后无法做下去了，此题无解。 

 #include<iostream>
 #include<string>
 #include<cmath>
 #include<algorithm>
 usingnamespace std;

 __int64 x,y,a,b,c,d;
 __int64 n,m,X,Y,L;

 __int64 gcd(__int64 a,__int64 b)
 {
     __int64 t,d;
     if(b==)
     {
         x=;
         y=;
         return a;
     }
     d=gcd(b,a%b);
     t=x;
     x=y;
     y=t-(a/b)*y;
     return d;
 }

 int main()
 {
     while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&X,&Y,&m,&n,&L)==)
     {
         a=n-m;
         b=L;
         c=X-Y;
         d=gcd(a,b);
         if(c%d!=)
         {
             printf("Impossible\n");
             continue;
         }
         x=x*(c/d);
         y=y*(c/d);

         /*通解：
         x1=x+b/d*t;
         y1=y-a/d*t;
         t为任意整数
         */
         //找最小的x1，即求x+b/d*t最小，那么只有t为某一个数时才最小
         //显然t必须与x正负相反才有最小，那么就看做x-b/d*t,这个式子的最小值便是t=x/(b/d)时，注意这是整型除法
         __int64 k=x*d/b;
         k=x-k*b/d;
         if(k<)
             k+=b/d;
         printf("%I64d\n",k);
     }
     return0;
 }

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <cmath>
 #include <vector>
 #include <string>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <algorithm>  

 #define INF 0x7fffffff
 #define EPS 1e-12
 #define MOD 1000000007
 #define PI 3.141592653579798
 #define N 100000  

 using namespace std;  

 typedef long long LL;
 typedef double DB;  

 LL e_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
 {
     if(b==)
     {
         x=;
         y=;
         return a;
     }
     LL ans=e_gcd(b,a%b,x,y);
     LL temp=x;
     x=y;
     y=temp-a/b*y;
     return ans;
 }  

 LL cal(LL a,LL b,LL c)
 {
     LL x,y;
     LL gcd=e_gcd(a,b,x,y);
     if(c%gcd!=) return -;
     x*=c/gcd;
     b/=gcd;
     if(b<) b=-b;
     LL ans=x%b;
     if(ans<=) ans+=b;
     return ans;
 }  

 int main()
 {
     LL x,y,m,n,L;
     while(scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L)!=EOF)
     {
         LL ans=cal(m-n,L,y-x);
         if(ans==-) printf("Impossible\n");
         else printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }  

 #include <iostream>
 #include <cstring>
 #include <string>
 #include <algorithm>
 using namespace std;
 long long x, y, m, n, l, k, t, d, va, vb, ba, bb;
 long long extgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y)
 {
     long long d = a;
     if (b != )
     {
         d = extgcd(b, a%b, y, x);
         y = y - a / b * x;
     }
     else
     {
         x = ; y = ;
     }
     return d;
 }
 int main()
 {
     cin >> ba >> bb >> va >> vb >> l;
     m = va - vb; n = bb - ba;
     d = extgcd(m, l, x, y);
     if (n%d != )
     {
         puts("Impossible");
         return ;
     }
     t = l / d;
     k = (x*(n / d) % t + t) % t;
     if (k < ) k += l;
     cout << k << endl;
     return ;
 }

ax+by=c问题

问题：ax+by=c，已知a、b、c，求解使该等式成立的一组x，y。其中a、b、c、x、y均为整数

a,b的最大公约数为gcd(a,b)。如果c不是gcd(a,b)的倍数，则该等式无解，因为等式左边除以gcd(a,b)是整数，

而等式右边除以gcd(a,b)后为小数。(根据解方程的时候，在等式的左右两边同时除以非0的整数，等式依然成立)

 

因此，只有当c是gcd(a,b)的倍数的时候，该等式有解。这样，可以通过计算使ax1+by1=gcd(a,b)成立的x1、y1，

然后有x=(c/gcd(a,b))*x1，y=(c/gcd(a,b))*y1，得到x,y。

 // 等式ax+by=c,已知a、b、c,求x和y。
 // 解该线性方程等同于解同余式ax = c(mod b)
 // 返回值表示是否有解,true有解,false无解
 bool linear_equation(int a, int b, int c, int &x, int &y)
 {
     int n = extended_euclid(a, b, x, y);
     if(c%n)
         return false;
     int k = c/n;
     x *= k;
     y *= k;
     return true;
 }