自动机理论、语言和计算导论 by John E. Hopcroft

计算理论是计算机应用的基础，理论和应用缺一而不可。

---- 目录 ----

C01 自动机

C02 有穷自动机

C03 正则表达式与正则语言

C04 正则语言的性质

C05 上下文无关文法及上下文无关语言

C06 下推自动机

C07 上下文无关语言的性质

C08 图灵机

C09 不可判定性

C10 难解问题

C11 其他问题类

 

---- C01 自动机 ----

• 有穷自动机(FA)的两个重要因素是状态和跳转，状态是数据/环境，跳转是函数/响应。
• 自动机的结构表示法有两种，一种是正则表达式，正则表达式(RE)和有穷自动机(FA)是等价的，前者只是后者的结构记号而已，另一种是文法，通常指的是上下文无关文法，用来构建编译器的语法分析器。
• 可判定性是研究计算机能做什么不能做什么的，计算机能解决的问题称为“可判定的”，反之则为“不可判定的”，难解性是指问题的解决难度是容易的还是复杂的，复杂度为多项式的问题称为“易解的”/“可计算的”(P问题)，反之则为“难解的”/“不可计算的”(NP问题)。
• 证明分为演绎证明和归纳证明，演绎证明是基于推导(前提->结论)的命题树，“如果那么”是单向的，“当且仅当”是双向的，命题当且仅当逆否命题(若A则B<->若非B则非A)，反证法(证明A与非B矛盾)就是基于此的，反例法是用来推翻错误命题的，归纳证明分为基础部分/初始部分(S(0)成立)和归纳部分/推导部分(S(n)成立->S(n+1)成立)，结构归纳法是基于递归定义的，所谓的“结构”是指某个递归定义的结构。从哲学上认为，演绎法和归纳法是两个不同的过程，前者是从一般到个别的应用过程，后者是从个别到一般的总结过程，而我们这里强调的演绎是寻找前提和结论之间的联通路径，归纳是从部分到整体、从容易到困难的递归推导。
• 自动机理论的中心概念有字母表、串和语言，字母表(A)是字母的集合，串(S)是字母的序列，语言(L)是串的集合，判定问题是判定某个串是否属于某个语言的问题，语言和判定问题其实是相同的东西，它们都划出了“是”与“不是”的界线。

 

---- C02 有穷自动机 ----

• 有穷自动机(FA)是基于状态和控制的，“控制”是制定状态跳转的规则，控制有“确定的”(只有一个状态)和“非确定的”(可以多个状态)，所以有穷自动机有确定型有穷自动机(DFA)和非确定型有穷自动机(NFA)两种，正则表达式是有穷自动机的代数记号，它与有穷自动机是等价的，正则语言是描述有穷自动机的语言。
• 确定型有穷自动机(DFA)由有穷个状态的集合(Q)、有穷个输入符号的集合(A)、转移函数(T)、初始状态(q0)和接受状态的集合(F)五部分组成，DFA可以用数学公式描述：DFA=(Q, A, T, q0, F)，也可以用转移图和转移表描述，转移函数是基于某个输入符号的，扩展转移函数是基于某个输入符号序列的，DFA的语言L(DFA)={S|T(q0,S)属于F}，输入一个符号序列，DFA可以接受或拒绝(判定性)。
• 确定型有穷自动机(DFA)只有一个状态，而非确定型有穷自动机(NFA)可以多个状态，从而具备了一定的“猜测”能力。与DFA一样，NFA也是由五部分组成，只是转移函数T的返回是状态的集合(DFA的只是一个状态)，也就是说，DFA只是NFA的一个特例而已，在设计上NFA会比DFA更加简单和自然，NFA的语言L(NFA)={S|T(q0,S)与F的交集非空}，NFA与DFA是等价的(也即是L(NFA)等价于L(DFA))，通过子集构造，我们可以把NFA的状态集合作为DFA的状态，把NFA转为为等价的DFA，但换来的是指数增长的状态数，我认为两者等价应该取其较简者，在设计上，如果缺少转移，可以额外添加一个“死状态”。
• 带ε的非确定型有穷自动机(ε-NFA)是NFA的一个变种，ε指的是空串，它提供了很大的便利性，ε-NFA与NFA的不同也在于转移函数上，ε-NFA的转移函数可以接收ε作为输入符号(允许空输入)，从状态q出发通过ε转移能够到达的所有状态的集合称为状态q的ε闭包(或ε闭集)(ECLOSE(q))，通过融合了ε闭包的子集构造，我们可以看到ε-NFA与DFA其实也是等价的。
• 有穷自动机的理论最初来源于神经网路的研究，研究神经网络可能有助于发现比有穷自动机更为复杂的模型。

 

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