Codeforces 468D Tree

题目

给出一棵带边权的树，求一个排列\(p\)，使得\(\sum_{i=1}^{n}{dis(i, p_i)}\)的值最大，其中\(dis(v, u)\)表示\(v\)到\(u\)的距离。

算法

这题的思路非常巧妙，又是和重心有关的题目！记得ydc的大树这题的ydc的做法有异曲同工之妙。

首先我们列答案的计算公式：\[\sum_{i=1}^{n}{dep_i+dep_{p_i}-dep_{lca(i,p_i)}}\]
其中\(dep(i)\)是\(i\)到根的距离，\(lca(v,u)\)就不用说了吧。
上面的式子等价于\[2 \sum_{i=1}^{n}{p_i}-\sum_{i=1}^{n}{dep_{lca(i,p_i)}}\]
我们就要使\(\sum_{i=1}^{n}{dep_{lca(i,p_i)}}\)最小化。

找到树的重心\(root\)，并使它 变为根，显然我们有一种方法，使得\(lca(i,p_i)\)都是\(root\)，所以答案就是\(2 \sum_{i=1}^{n}{p_i}\)。

难点在求字典序最小的排列\(p\)。

我们可以按\(1\)到\(n\)的顺序依次确定\(p_i\)，根据贪心，我们每次必然选标号最小的点\(j\)。而且这个点要满足：

• \(lca(i,j)=root\)，我们可以把\(root\)去掉，那么一棵树就裂成了若干“小树”，那么就是要满足\(i\)和\(j\)不在同一个小树。
• 仅仅满足上面的条件是不够的，因为有可能出现\(i\)和\(j\)只能在同一个小树的情况，所以我们要稍加限制：如果某个小树里出现了标号大于i的结点数量+还没有被选的结点数量=\(n-i\)，那么，\(i\)或\(j\)之一 一定要在这个小树里。

我的代码